填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$ ，则 $a=$
微分方程 $x y^{\prime}-y+x^2 e ^x=0$ 满足条件 $y(1)=- e$ 的解为 $y=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$ ．
设函数 $f(x)$ 连续，且对任意实数 $x, h$ 满足 $f(x+h)=\int_x^{x+h} t\left[f(t+h)+t^2\right] d t+f(x)$ $\lim _{x \rightarrow 0}[1+f(x)]^{\frac{1-}{x^4}}=a(a>0)$ ，求 $f(x)$ 的表达式及常数 $a$
设函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime}(x)=f(1-x), f(0)=1$ 则 $f(x)=$
设 $f(x)$ 是可导函数，且 $f(0)=0, g(x)=\int_0^1 x f(t x) d t$ ，并满足方程 $f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=x$ ，则由曲线 $y=f(x), y=e^{-x}$ 及直线 $x=0, x=2$围成平面图形的面积为