单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$, 则 $f(x)$在 $(-\infty,+\infty)$ 内 ( )
$\text{A.}$ 处处可导.
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点.
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点.
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点.
设函数 $f(x)$ 连续, 且 $f^{\prime}(0)>0$, 则存在 $\delta>0$, 使得
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加.
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减少.
$\text{C.}$ 对任意的 $x \in(0, \delta)$, 有 $f(x)>f(0)$.
$\text{D.}$ 对任意的 $x \in(-\delta, 0)$, 有 $f(x)>f(0)$.
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, $g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$,则在区间 $[0,1]$ 上 ( )
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$.
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$.
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \leq g(x)$.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 其导函数的图形如图所示, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点.
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 3 个拐点.
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 1 个拐点.
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x < 1, \\ \ln x, & x \geq 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是 ( )
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1), & x \geq 1 .\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, & x \geq 1 .\end{cases}$
$\text{C.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geq 1 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, & x \geq 1 .\end{cases}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-1}$ 有水平渐近线 ________ 和铅直渐近线 ________
函数 $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的无穷间断点的个数为
函数 $y=\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}$ 的定义域为
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2 \sin \frac{1}{x}=$
若 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0+\Delta x\right)}{\Delta x}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设连续函数 $f(x)$ 的原函数为 $\frac{\sin x}{x}$, 试求不定积分 $\int x f^{\prime}(x) d x$.
求由方程 $y^2+2 \ln y=x^4$ 所确定的隐函数 $y$ 的导数$\frac{d y}{d x}$
假设某种商品的需求量 $Q$ 是单价 $P$ 的函数 $Q=12000-80 P$, 商品的总成本 $C$ 是需求量 $Q$ 的函数 $C=25000+50 Q$, 每单位商品需纳税 2 . 试求使销售利润最大的商品价格和最大利润.
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e^{x+y}+\sin (x y)=1$ 确定, 求 $y^{\prime}(x)$ 以及 $y^{\prime}(0)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1+x+x^2-3}{1-x^3}$
设 $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$, 若点 $(1,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 且 $x=2$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，（I）常数 $a, b, c$ 的值；（II）求函数 $f(x)$ 的单调性区间和凹凸性区间；（III）求函数 $f(x)$ 的极值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x \cdot \sin ^2 x}$.
设函数 $y=y(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{c}e^y+t y=e \\ x=\ln (1+\sin t)\end{array}\right.$ 所确定, 求 $\frac{d y}{d x},\left.d y\right|_{t=0}$.
设 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续, 且在 $(0, \pi)$ 内可导, 证明至少存在一点 $\xi \in(0, \pi)$, 使
$$
f(\xi) \cot \xi+f^{\prime}(\xi)=0 .
$$