单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\alpha(x)=\frac{1-x}{1+x}, \beta(x)=3-3 \sqrt[3]{x}$, 则当 $x \rightarrow 1$ 时 $($ )
$\text{A.}$ $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是同阶无穷小, 但不是等价无穷小;
$\text{B.}$ $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$是等价无穷小;
$\text{C.}$ $\alpha(x)$ 是比 $\beta(x)$ 高阶的无穷小;
$\text{D.}$ $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 高阶的无穷小.
设 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数, 若 $f(x)=(x+1) \mathrm{e}^x-f^{\prime}(0) x$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 ( )
$\text{A.}$ $y=-x+1$
$\text{B.}$ $y=-2 x+1$
$\text{C.}$ $y=2 x+1$
$\text{D.}$ $y=x+1$
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)>0$, 则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的极大值.
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值.
$\text{C.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 极小值.
$\text{D.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
下列函数中, 在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin |x|$.
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$.
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$.
$\text{D.}$ $f(x)=\cos \sqrt{|x|}$.
若 $F(x)=\int_0^x(2 t-x) f(t) d t$, 其中 $f(x)$ 在区间上 $(-1,1)$ 二阶可导且 $f ^{\prime}( x )>0$, 则 ( ).
$\text{A.}$ 函数 $F(x)$ 必在 $x=0$ 处取得极大值;
$\text{B.}$ 函数 $F(x)$ 必在 $x=0$ 处取得极小值;
$\text{C.}$ 函数 $F(x)$ 在 $x=0$ 处没有极值, 但点 $(0, F(0))$ 为曲线 $y=F(x)$ 的拐点;
$\text{D.}$ 函数 $F(x)$ 在 $x=0$ 处没有极值, 点 $(0, F(0))$ 也不是曲线 $y=F(x)$ 的拐点。
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $y=\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}$ 的定义域为
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2 \sin \frac{1}{x}=$
函数 $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的无穷间断点的个数为
若 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0+\Delta x\right)}{\Delta x}=$
曲线 $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-1}$ 有水平渐近线 ________ 和铅直渐近线 ________
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1+x+x^2-3}{1-x^3}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x \cdot \sin ^2 x}$.
求导 $y=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$
若曲线 $y=x^2+a x+b$ 与 $2 y=x y^3-1$ 在点 $(1,-1)$ 处相切, 求常数 $a, b$.
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e^{x+y}+\sin (x y)=1$ 确定, 求 $y^{\prime}(x)$ 以及 $y^{\prime}(0)$.
设连续函数 $f(x)$ 的原函数为 $\frac{\sin x}{x}$, 试求不定积分 $\int x f^{\prime}(x) d x$.
求不定积分 $\int \sqrt{a^2-x^2} d x(a>0)$.
设 $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$, 若点 $(1,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 且 $x=2$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，（I）常数 $a, b, c$ 的值；（II）求函数 $f(x)$ 的单调性区间和凹凸性区间；（III）求函数 $f(x)$ 的极值.
假设某种商品的需求量 $Q$ 是单价 $P$ 的函数 $Q=12000-80 P$, 商品的总成本 $C$ 是需求量 $Q$ 的函数 $C=25000+50 Q$, 每单位商品需纳税 2 . 试求使销售利润最大的商品价格和最大利润.
设 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续, 且在 $(0, \pi)$ 内可导, 证明至少存在一点 $\xi \in(0, \pi)$, 使
$$
f(\xi) \cot \xi+f^{\prime}(\xi)=0 .
$$