一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知二元函数 $F(x, y)=f(x, y) \varphi(x, y)$, 其中 $\varphi(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且 $f(0,0)=0$, $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_x^{\prime}(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_y^{\prime}(x, y)=0$, 则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续, 但偏导数不存在
$\text{C.}$ 连续, 偏导数存在但不可微
$\text{D.}$ 可微
设 $f(x, y)$ 为可微函数, $f_y^{\prime}(x, x+y)=2 y, f(x, x)=x^2$, 则 $f_x^{\prime}(x, y)=$.
$\text{A.}$ $4 x$
$\text{B.}$ $4 x+2 y$
$\text{C.}$ $2 y$
$\text{D.}$ $4 x-2 y$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 可微, 且取极值
$\text{B.}$ 可微但不取极值
$\text{C.}$ 不可微,但取极值
$\text{D.}$ 不可微,也不取极值
若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y=1}} \frac{f(x, y)-2 x+4 y-1}{\sqrt{x^2+y^2-2 x-2 y+3}-1}=2$, 则
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处不存在偏导数.
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处存在偏导数但不可微.
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1.1)}=2 \mathrm{~d} x-4 \mathrm{~d} y$.
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1.1)}=-2 \mathrm{~d} x+4 \mathrm{~d} y$.
二、填空题 （共 16 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知函数 $z=\ln \left(1+x^2+y^2\right)$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ ?
函数 $z=x y+\ln y$ 在点 $(2,1)$ 处的梯度方向为?
由方程 $\left(x^2+y^2\right)^2=2\left(x^2-y^2\right)$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 的极大值为
设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 且 $f\left(x, x^2\right)=x^2, f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x y, f_x^{\prime}(x, 0)=2 x$, 则 $\mathrm{d} f(1,1)$
设 $x=u \cos \frac{v}{u}, y=u \sin \frac{v}{u}$, 其中 $u>0, \frac{v}{u} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\frac{\partial v}{\partial x}=$
一水平横放的圆柱形油桶, 设 $F_1$ 为桶内盛半桶油时桶的一个端面所受的侧压力, $F_2$ 为桶内盛满油时桶的一个端面所受的侧压力, 则 $\frac{F_1}{F_2}= $.
设 $z=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ 在坐标变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x^2-y^2 \\ v=2 x y\end{array}\right.$ 下关于 $u, v$ 变量的表达式为
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^2-2 x=2 \mathrm{e}^y$ 所确定的隐函数, 则曲线 $y=y(x)$ 的拐点是
$\lim _{(x, y) \rightarrow(+\infty, 2)}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{2 x^2}{x+y}}=$
设 $z=\left(e^{x y}+x\right)^x,\left.\mathrm{~d} z\right|_{(1,0)}=$
已知 $f(x, y)=x+(y-1) \sin \sqrt{\frac{x}{y}}$, 则 $f_x(x, 1)=$
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\arctan \left(x^3+y^3\right)}{x^2+y^2}=$
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{-2 x}$ 的通解为
已知 $f(x, y)=x+(y-1) \sin \sqrt{\frac{x}{y}}$, 则 $f_x(x, 1)=$
设 $z=x y e^{x^2+y^2}$, 求 $z_{x y}^{\prime \prime}$ 。
求函数 $u=x^2+y^2-8 x+4 y$ 在 $D: x^2+y^2 \leq 9$ 上的最值。
三、解答题 （ 共 20 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=2$. 对每个正数 $r$, 令平面区域 $D_r=$ $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant r^2\right\}$, 并选取一点 $(\xi, \eta) \in D_r$ 使得 $\iint_{D_r} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pi r^2 f\left(\xi^2+\eta^2\right)$. 求 $\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\xi^2+\eta^2}{r^2}$
设函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的连续正值函数, $F(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的连续函数, 且对 $x \in(0, \pi)$, $F(x)=\frac{\int_0^x(1-\cos t) f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^x t^2 f(t) \mathrm{d} t}$. 求 $F(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值.
已知函数 $u=u(x, y), v=v(x, y)$, 满足
$$
\left\{\begin{array}{l}
x u-y v=0 \\
y x+x v=2
\end{array}\right.
$$
在 $\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)=(1,1,1,1)$ 的某个邻域内定义的隐函数, 求 $\frac{\partial x}{\partial x}(1,1), \frac{\partial x}{\partial y}(1,1), \frac{\partial v}{\partial x}(1,1), \frac{\partial v}{\partial y}(1,1)$.
求 $f(x, y)=2 x^2+4 x y-2 y^2$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) ; x^2+y^2 \leq 5\right\}$ 上的最大值和最小值.
设 $y^2 \mathrm{~d} x+(2 x y+1) \mathrm{d} y$ 是函数 $f(x, y)$ 的全微分, 其中 $f(0,0)=0$, 求 $f(x, y)$, 并计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} z f(x, y) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma$ 是椎面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $x^2+(y-1)^2=1$ 所截下的有限部分.
设 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上有二阶连续偏导数，若对以任一点 $\left(x_0, y_0\right) \in \mathbb{R}^2$ 为中心，以任意 $r>0$ 为半径的上半圆周
$$
L_r: y-y_0=\sqrt{r^2-\left(x-x_0\right)^2} .
$$
均有 $I(r)=\int_{L_r} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0$. 证明:
$$
P(x, y) \equiv 0, \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} \equiv 0
$$
设函数 $f(u)$ 具有 2 阶连续导数, $z=f\left(\mathrm{e}^{x^2-y^2}\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=16 z\left(x^2+y^2\right)$, 若 $f(1)=0$, $f^{\prime}(1)=2$.
(I) 求 $f(u)$ 的表达式;
(II) 记 $g(x, y)=3 x y-x^3-y^3$, 求 $f[g(x, y)]$ 的极值.
设函数 $z=u^2 \ln v$ ，而 $u=\frac{1}{y}, v=3 x+2 y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x^2+y^2+z^2=1\end{array}\right.$ 确定两个隐函数 $x=x(z), y=y(z)$ ，计算 $\frac{d x}{d z}, \frac{d y}{d z}$
求函数 $z=f(x, y)=3 x^2+3 y^2-x^3$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 16\right\}$ 上的最大值与最小值.
在除原点之外的上半空间 $z \geqslant 0$ 上, 函数 $u(x, y, z)$ 有二阶连续偏导数, 满足
$$
u_x^{\prime}=2 x+y+z+x f(r), u_y^{\prime}=x+y f(r), u_z^{\prime}=x+z+z f(r),
$$
其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, u_{x x}^{\prime \prime}+u_{y y}^{\prime \prime}+u_{z z}^{\prime \prime}=0, f(1)=1$.
(1) 求 $f(r)$ 的表达式;
(2) 求 $f(r)$ 在约束条件 $x^2+\frac{y^2}{2}-z^2=1$ 下的最大值与最小值.
求函数 $f(x)=x^2-x y+y^2+3 x$ 的极值, 并指出是极大值还是极小值.
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $2 x^2+y^2+z^2+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0$ 确定的, 求 $z=z(x, y)$ 的极值.
设函数 $f(u)$ 具有连续导数, $z=x f\left(\frac{y}{x}\right)+y f\left(\frac{y}{x}\right)$ 满足 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{x}$, 若 $f(1)=1$, 求 $f(u)$ 的表达式.
设 $z=f\left(x^2-y^2, e^{x y}\right), f$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$.
设函数 $u=y f\left(\frac{x}{y}\right)+x g\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $f, g$ 具有二阶连续偏导数,
求证: $x \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0$.
已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y=e^{x z}-2 z$ 确定, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
设 $z=f\left(x^2+y^2, \cos (x y)\right), f$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设函数 $u=f(x y, g(x))$, 其中 $f$ 具有二阶连续偏导数, $g(x)$ 可导且在 $x=1$ 处取到极值
$$
g(1)=1 \text {, 求 }\left.\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right|_{(1.1)}
$$
已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y=e^{x z}-2 z$ 确定, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.