单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
下列反常积分中, 收敛的是
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+x}} \mathrm{~d} x$.
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3(x+1)^3}} \mathrm{~d} x$.
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^3+x^2}} \mathrm{~d} x$.
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} \mathrm{~d} x$.
设函数 $f(x)=|x| \mathrm{e}^{-|x-1|}$, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 4 个拐点.
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点.
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 1 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点.
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 1 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 4 个拐点.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=4$, 则 $\int_0^1\left[f(x) \int_x^1 f(t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 16
如果 $[1,0,1]^T,[1,2,3]^T$ 是非齐次线性方程组的两个解, 则下面哪个也 是方程组的解?
$\text{A.}$ $[2,2,4]^T$
$\text{B.}$ $[0,2,2]^T$
$\text{C.}$ $[1,-2,-1]^T$
$\text{D.}$ $[2,0,2]^T$
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 3 维实列向量, 且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=1, \boldsymbol{B}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}$ 为 3 阶不可逆矩阵, 且 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可经初等行变换化为 $\boldsymbol{B}$, 则
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解.
$\text{B.}$ 方程组 $B x=0$ 与 $A A^{\mathrm{r}} x=0$ 同解.
$\text{C.}$ 方程组 $A^{\mathrm{T}} A x=0$ 与 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 同解.
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $x=u \cos \frac{v}{u}, y=u \sin \frac{v}{u}$, 其中 $u>0, \frac{v}{u} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\frac{\partial v}{\partial x}=$
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{-2 x}$ 的通解为
设函数 $y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+\mathrm{e}^t\right) \text {, } \\ y=-t^2+3\end{array}\right.$ 确定, 则曲线 $y=y(x)$ 在参数 $t=0$ 对应的点处的曲率 $k=$
设曲线 $C: x^2+y^2-2 x+4 y+1=0$ ，则曲线积分 $\int_C(x+y) \mathrm{d} s=$
已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $0,1,2$, 设矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^2-2 \boldsymbol{A}$, 则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算二重积分 $\iint_D x^2 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由双曲线 $x^2-y^2=1$ 及直线 $y=0, y=1$ 所围成的平面区域.
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导, 目 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=2$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{1 / n}{1-\cos (1 / n)}}$.
求函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 在 $x=0$ 处的幂级数展开式，并求 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}$.
计算曲面积分 $\iint_S(2 x+z) d y d z+z d x d y$ ，其中 $S$ 为有向曲面 $z=x^2+y^2(0 \leq z \leq 1)$ ，其法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角。
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$,
证明:
(1) 在区间 $(a, b)$ 内 $g(x) \neq 0$,
(2) $\exists \xi \in(a, b)$, 使 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+k \boldsymbol{\alpha}_3\right)$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 均为 4 维列向量, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 且 $\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$, 若线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_4$ 有无穷多个解.
(I) 求 $k$ 的值;
(II) 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_4$ 的通解.
设随机变量 $X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim E(1)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 记 $Z=(2 X-1) Y,(Y, Z)$ 的分布函数为 $F(y, z)$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度;
(II) 求 $F(2,-1)$ 的值.