一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A$ 为三阶方阵, 将 $A$ 的第 2 列加到第 1 列得到矩阵 $B$, 再交换矩阵 $B$ 的第 2 行与第 3 行得到矩阵 $C$, 记
$$
P_1=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right], P_2=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right], \quad \text { 则 } \boldsymbol{C}=(\quad) \text {. }
$$
$\text{A.}$ $P_2 A P_1$
$\text{B.}$ $P_1 A P_2$
$\text{C.}$ $A P_1 P_2$
$\text{D.}$ $P_2 P_1 A$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 4 & 2\end{array}\right), C=A B^{-1}$ ， 则 $C^{-1}$ 的第 3 行第1列的元素为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ -1
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $|A|=a \neq 0$ ，而 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|A^*\right|=(\quad)$
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $\frac{1}{a}$
$\text{C.}$ $a^{n-1}$
$\text{D.}$ $a^n$
设 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x & x & 1 & 0 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ 2 & 3 & x & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 x\end{array}\right|$ 中, 则 $x^3$ 的系数是
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ -4
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵, 则 $|k \boldsymbol{A}|=$
$\text{A.}$ $k^n|A|$
$\text{B.}$ $k|A|$
$\text{C.}$ $|k||A|$
$\text{D.}$ $(k|\boldsymbol{A}|)^n$
设 $\left|\begin{array}{lll}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{array}\right|=m$, 则 $\left|\begin{array}{ccc}a_1 & a_2 & a_3 \\ 2 b_1 & 2 b_2 & 2 b_3 \\ 3 c_1 & 3 c_2 & 3 c_3\end{array}\right|=\begin{array}{lll}\end{array}$.
$\text{A.}$ $6 m$
$\text{B.}$ $-6 m$
$\text{C.}$ $2^3 3^3 m$
$\text{D.}$ $-2^3 3^3 m$
3 阶行列式 $D$ 的元素为 $a(a>0)$ 或 0 , 则该行列式的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} a^3$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} a^3$
$\text{C.}$ $2 a^3$
$\text{D.}$ $a^3$
二、判断题 （共 3 题，每小题 5 分，共 20 分）
当齐次线性方程组有非零解时定有基础解系
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $n$ 阶行列式不等于零, 则它的所有 $n-1$ 阶子式可以都为零
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
奇数阶反对称矩阵 $A$ 的行列式 $|A|=0$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
三、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 5 & -3 & -2 \\ -2 & -3 & 2 & -5 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \\ -1 & -6 & 4 & 3\end{array}\right|$.
5 阶行列式中，项 $a_{24} a_{31} a_{52} a_{13} a_{45}$ 前面的符号为
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 63\end{array}\right|=$
行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x-1 \\
1 & -1 & x+1 & -1 \\
1 & x-1 & 1 & -1 \\
x+1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right|$
设三阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=-2$, 且 $\boldsymbol{A}$ 是可逆的, 则 $\left|-3 \boldsymbol{A}^{-1}\right|=$
四、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算
$$
D_1=\left|\begin{array}{rrrr}
a_1 & -a_1 & 0 & 0 \\
0 & a_2 & -a_2 & 0 \\
0 & 0 & a_3 & -a_3 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right|
$$
计算 $n$ 阶行列式
$$
D_4=\left|\begin{array}{cccc}
3 & 2 & 4 & 8 \\
3 & -1 & 1 & -1 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 3 & 9 & 27
\end{array}\right|
$$
行列式 $D=\left|\begin{array}{ccccc}a & b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a & b \\ b & 0 & 0 & 0 & a\end{array}\right|$
计算 $\left|\begin{array}{rrrr}5 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 5\end{array}\right|$
4 阶行列式 $D_4=\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & x-1 \\ 1 & -1 & x+1 & -1 \\ 1 & x-1 & 1 & -1 \\ x+1 & -1 & 1 & -1\end{array}\right|=$