解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知凸多面体 $P$ 的每个顶点恰属于三个不同的面, 且可以将 $P$ 的每个顶点染为黑白两种颜色之一, 使得 $P$ 的每条棱的两个端点不同色. 求证: 可以将 $P$ 的每条棱的内部染为红黄蓝三种颜色之一, 使得每个顶点连的三条棱的颜色两两不同,且每个面恰含两种颜色的棱.
在锐角 $\triangle A B C$ 中, $\angle A>\angle B>\angle C . B_1, C_1$ 是平面上的两点, 满足 $\triangle A C_1 B$和 $\triangle C B_1 A$ 分别是以 $A B, C A$ 为底边, 且顺相似的等腰三角形. 设直线 $B B_1, C C_1$ 交于点 $T$. 假设上述各点两两不同, 求证: $\angle A T C \neq 90^{\circ}$.
设正整数 $M$ 恰有 $L$ 个不同的质因子。对正整数 $n$, 设 $h(n)$ 是集合 $\{1,2, \cdots, n\}$中与 $M$ 互质的数的个数. 记 $\beta=\frac{h(M)}{M}$. 求证：集合 $\{1,2, \cdots, M\}$ 中存在不少于 $\frac{M}{3}$ 个数 $n$, 满足
$$
\beta n-\sqrt{\beta \cdot 2^{L-3}}-1 \leq h(n) \leq \beta n+\sqrt{\beta \cdot 2^{L-3}}+1 .
$$