单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
$x \rightarrow 0$ 时， $x-\sin x$ 是 $x^2$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 高阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶但不等价的无穷小
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & x \leq 0 \\ x^2+x, & x>0\end{array}\right.$ ，则
$\text{A.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^2, & x \leq 0 \\ -\left(x^2+x\right), & x>0\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $f(-x)= \begin{cases}-\left(x^2+x\right), & x < 0 \\ -x^2, & x \geq 0\end{cases}$
$\text{C.}$ $f(-x)= \begin{cases}x^2, & x \leq 0 \\ x^2-x, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $f(-x)= \begin{cases}x^2-x, & x < 0 \\ x^2, & x \geq 0\end{cases}$
当 $x \rightarrow 1$ 时，函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} e^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2
$\text{B.}$ 等于 0
$\text{C.}$ 为 $\infty$
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$
设 $f(x)$ 连续， $F(x)=\int_0^{x^2} f\left(t^2\right) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(x)$ 等于
$\text{A.}$ $f\left(x^4\right)$
$\text{B.}$ $x^2 f\left(x^4\right)$
$\text{C.}$ $2 x f\left(x^4\right)$
$\text{D.}$ $2 x f\left(x^2\right)$
若 $f(x)$ 的导数是 $\sin x$ ，则 $f(x)$ 有一个原函数为
$\text{A.}$ $1+\sin x$
$\text{B.}$ $1-\sin x$
$\text{C.}$ $1+\cos x$
$\text{D.}$ $1-\cos x$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\left\{\begin{array}{c}x=f(t)-\pi \\ y=f\left(e^{3 t}-1\right)\end{array}\right.$ ，其中 $f$ 可导且 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=0}=$
函数 $y=x+2 \cos x$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值为
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{e^x-\cos x}=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^2+1\right)}=$
由曲线 $y=x e^x$ 与直线 $y=e x$ 所围成的图形的面积 $S=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y-x e^y=1$ 所确定，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$ 的值.
求 $\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x$.
求 $\int_0^\pi \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~d} x$.
求微分方程 $\left(y-x^3\right) \mathrm{d} x-2 x \mathrm{~d} y=0$ 的通解.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^2, & x \leq 0 \\ e^{-x}, & x>0\end{array}\right.$ ，求 $\int_1^3 f(x-2) \mathrm{d} x$.
求微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=x e^x$ 的通解.
计算曲线 $y=\ln \left(1-x^2\right)$ 上相应于 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 的一段弧的长度.
求曲线 $y=\sqrt{x}$ 的一条切线 $l$ ，使该曲线与切线 $l$ 及直线 $x=0, x=2$ 所围成的平面图形面积最小.
设 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(0)=0$ ，证明: 对任何 $x_1>0, x_2>0$,恒有 $f\left(x_1+x_2\right) < f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$.