单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=|x \sin x| e^{\cos x},-\infty < x < +\infty$ 是
$\text{A.}$ 有界函数
$\text{B.}$ 单调函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 偶函数
函数 $f(x)=x \sin x$ 是
$\text{A.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时的无穷大
$\text{B.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时有极限
$\text{C.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界
$\text{D.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}=\text { ( ) }
$$
$\text{A.}$ $f^{\prime}(a)$
$\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $f^{\prime}(2 a)$
设 $f(x)$ 为已知连续函数， $I=t \int_0^{\frac{s}{t}} f(t x) \mathrm{d} x$ ，其中 $s>0, t>0$, 则 $I$ 的值
$\text{A.}$ 依赖于 $s$ 和 $t$
$\text{B.}$ 依赖于 $\mathrm{s}, t, x$
$\text{C.}$ 依赖于 $t$ 和 $x$ ，不依赖于 $s$
$\text{D.}$ 依赖于 $s$ ，不依赖于 $t$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=\ln (1+a x)$, 其中 $a$ 为非零常数, 则 $y^{\prime}=$ $\qquad$ $y^{\prime \prime}=$ $\qquad$
曲线 $y=\arctan x$ 在横坐标为 1 的点处的切线方程是 $\qquad$ ，法线方程是 $\qquad$
积分中值定理的条件是 $\qquad$ ，结论是 $\qquad$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n-2}{n+1}\right)^n=$
$\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ $\qquad$ $\int_a^b f^{\prime}(2 x) d x=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)$.
设 $\left\{\begin{array}{l}x=5(t-\sin t) \\ y=5(1-\cos t)\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
计算定积分 $\int_0^1 x \arcsin x \mathrm{~d} x$.
设 $D$ 是曲线 $y=\sin x+1$ 与三条直线 $x=0, x=\pi$, $y=0$ 围成的曲边梯形，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
(1) 设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，且导数 $f^{\prime}(x)$ 恒大于零，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内单调增加.
(2) 若 $g(x)$ 在 $x=c$ 处二阶导数存在，且 $g^{\prime}(c)=0, g^{\prime \prime}(c) < 0$ ，则 $g(c)$ 为 $g(x)$ 的一个极大值.
计算不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{a^2 \sin ^2 x+b^2 \cos ^2 x}$ (其中 $a, b$ 为不全为零的非负数).
(1) 求微分方程 $x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x-y$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=\sqrt{2}}=0$ 的解.
(2) 求微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=x e^x$ 的通解.
在第一象限内，求曲线 $y=-x^2+1$ 上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积.