线性代数同步练习（二）：分块与逆矩阵

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线性代数同步练习（二）：分块与逆矩阵

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A

为

n

阶方阵, 而且

A^{2} = A

, 则

A.

A = O

;

B.

若

A

不可逆, 则有

A = O

;

C.

若

A

可逆, 则有

A = E

;

D.

A = E

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2. 设

A, B

为同阶可逆方阵, 则存在可逆方阵

P, Q

, 使

A.

P A Q = B

;

B.

P^{- 1} A P = B

;

C.

P^{T} A P = B

;

D.

P A = P B

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3. 设

A, B

为

n

阶方阵, 而且

A B

不可逆, 则

A.

A, B

都不可逆;

B.

A, B

中至少有一个可逆;

C.

A, B

都可逆;

D.

A, B

中至少有一个不可逆.

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 方阵

A

可逆的充分必要条件是存在方阵

B

使

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5. 若

A, B, C

为同阶方阵, 而且

A

可逆, 若

A B = A C

, 则有

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6. 设

A, B

为可逆方阵,

X = (\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})

为分块矩阵, 则

X^{- 1} =

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{(\begin{array}{llll} a_{n} \\ \dots \\ a_{2} \\ a_{1} \end{array})}^{- 1}

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8. 已知矩阵

A = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}) B = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ - 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 4 & 1 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 \end{array})

试用分块矩阵的方法计箕

A B

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9. 已知

P^{- 1} A P = B

, 其中

P = (\begin{array}{cc} - 1 & - 4 \\ 1 & 1 \end{array}), P^{- 1} = \frac{1}{3} (\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ - 1 & - 1 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array})

, 求

A^{11}

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10.

A, B

均为三阶方阵, 而且

A B = 2 A + B, B = (\begin{array}{lll} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{array})

, 求:

(A - E)^{- 1}

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11. 分块矩阵

D = (\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})

, 其中

A, B

分别为

r

阶与

k

阶可逆方阵,

C

为

r \times k

矩阵,

O

为

k \times r

零矩阵, 求

D^{- 1}

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