填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{1+x+x^2+x^3}-x\right)$
$y=\frac{\arcsin x+\arccos x}{e^x}(-1 \leq x \leq 1)$ ，求 $y^{(n)}$
求不定积分 $\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} d x$
$f(x)=e^{x^{2022}} \sin x$ ，求 $f^{(2022)}(0)$
写出 $f(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$ 的所有间断点及其所属类型
求曲线段 $y=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}(0 \leq x \leq 3)$ 的弧长
求定积分 $\int_0^2 \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} d x$
设 $y$ 是由方程 $y^3(x+y)=x^3$ 所确定的隐函数，计算 $\int \frac{1}{y^2} d x$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
对函数 $e^{x^2}$ 在 $[0, x](x>0)$ 上应用积分中值定理，有 $\int_0^x e^{t^2} d t=x e^{\theta(x) x^2}$其中 $\theta(x) \in(0,1)$ ，计算 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)$
设函数 $f(x)=x \ln \left(1-x^2\right)$ ，求 $f^{(11)}(0)$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导且 $f^{\prime}(x) \neq 0$
证明: $\exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{e^b-e^a}{b-a} e^{-\eta}$
计算不定积分 $\int \frac{x^5-x}{x^8+1} d x$
已知正切函数的泰勒展开式为: $\tan x=x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15} x^5+o\left(x^5\right)$
计算 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{\frac{1}{x}}-e^2\left(1+\frac{4}{3} x^2\right)}{x^4}$