一、解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1. 在游戏中, 玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器. 某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为: (1)每次祈愿获取五星角色的概率 ; (2)若连续 89 次祈愿都没有获取五星角色, 那么第90次祈愿必定通过 “保底机制” 获取五星角色; (3)除触发 “保底机制” 外, 每次祈愿相互独立. 设 表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数.
(1) 求 的概率分布;
(2) 求 的数学期望.
参考数据: .
2. 已知函数 , 其中 .
(1) 若 , 证明 ;
(2) 讨论 的极值点的个数.
3. 交比是射影几何中最基本的不变量, 在欧氏几何中亦有应用. 设 是直线 上互异且非无穷远的四点, 则称 (分式中各项均为有向线段长度, 例如 ) 为 , 四点的交比, 记为 .
(1) 证明: ;
(2) 若 为平面上过定点 且互异的四条直线, 为不过点 且互异的两条直线, 与 的交点分别为 与 的交点分别为 , , 证明: ;
(3) 已知第 (2) 问的逆命题成立, 证明: 若 与 的对应边不平行, 对应顶点的连线交于同一点, 则 与 对应边的交点在一条直线上.