在游戏中, 玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器. 某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为: (1)每次祈愿获取五星角色的概率 $p_0=0.006$; (2)若连续 89 次祈愿都没有获取五星角色, 那么第90次祈愿必定通过 “保底机制” 获取五星角色; (3)除触发 “保底机制” 外, 每次祈愿相互独立. 设 $X$ 表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数.
(1) 求 $X$ 的概率分布;
(2) 求 $X$ 的数学期望.
参考数据: $0.994^{90} \approx 0.582$.

已知函数 $f(x)=a^x-e \log _a x-e$, 其中 $a>1$.
(1) 若 $a=e$, 证明 $f(x) \geq 0$;
(2) 讨论 $f(x)$ 的极值点的个数.

交比是射影几何中最基本的不变量, 在欧氏几何中亦有应用. 设 $A, B, C, D$ 是直线 $l$ 上互异且非无穷远的四点, 则称 $\frac{A C}{B C} \cdot \frac{B D}{A D}$ (分式中各项均为有向线段长度, 例如 $A B=-B A$ ) 为 $A, B$, $C, D$ 四点的交比, 记为 $(A, B ; C, D)$.
(1) 证明: $1-(D, B ; C, A)=\frac{1}{(B, A ; C, D)}$;
(2) 若 $l_1, l_2, l_3, l_4$ 为平面上过定点 $P$ 且互异的四条直线, $L_1, L_2$ 为不过点 $P$ 且互异的两条直线, $L_1$ 与 $l_1, l_2, l_3, l_4$ 的交点分别为 $A_1, B_1, C_1, D_1, L_2$ 与 $l_1, l_2, l_3, l_4$ 的交点分别为 $A_2$, $B_2, C_2, D_2$, 证明: $\left(A_1, B_1 ; C_1, D_1\right)=\left(A_2, B_2 ; C_2, D_2\right)$;
(3) 已知第 (2) 问的逆命题成立, 证明: 若 $\triangle E F G$ 与 $\triangle E^{\prime} F^{\prime} G^{\prime}$ 的对应边不平行, 对应顶点的连线交于同一点, 则 $\triangle E F G$ 与 $\triangle E^{\prime} F^{\prime} G^{\prime}$ 对应边的交点在一条直线上.