填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=(-1)^{\frac{1}{3}}$, 则 $\mathrm{z}$ 的模为 ________ , $\mathrm{z}$ 的辐角主值 $\theta(\theta \in(-\pi, \pi])$ 分别为 ________
$\ln \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)$ 的值为 ________ , $ \cos (2 i)$ 的值为 ________
函数 $f(z)=x^2+2 y^3 i$ 在 $z_1=3-i$ 处是否可导? , 在 $z_2=2+3 i$ 处是否可导?
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^n}{2^n n}$ 是否收敛? , 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n i^n}{n}$ 是否收敛?
函数 $f(z)=\frac{1}{z\left(9-z^2\right)}$ 在 $z=1+i$ 点展成泰勒级数的收敛半径为
$z=0$ 为函数 $f(z)=\frac{1}{z-\sin z}$ 的 ________ 阶极点.
在映射 $f(z)=z^2+z$ 下, $z_0=-\frac{1}{2}+2 i$ 处的旋转角为 ________ , $f(z)$ 在复平面上除去 $z=$ ________ 的点外处处保角.
已知 $F(\omega)=\pi\left[\delta\left(\omega+\omega_0\right)+\delta\left(\omega-\omega_0\right)\right]$ 为 $f(t)$ 的傅氏变换, 则 $f(t)=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\oint_{|z|=2} \frac{z}{\cos z} \mathrm{~d} z$
$\oint_{|z|=3} \frac{\sin \pi z}{z(z-1)^2} \mathrm{~d} z$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+3 \sin ^2 \theta} d \theta$
$ \int_0^{+\infty} \frac{x \sin b x}{x^2+a^2} \mathrm{~d} x(a>0, b>0)$
验证 $v(x, y)=4 x y+y^2-x^2$ 是调和函数, 并求满足条件 $f(1)=2-i$ 的解析函数 $f(z)=u+i v$.
将函数 $f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)(z-3)}$ 在 $z_0=0$ 点展开为洛朗 (Laurent)级数.
求上半平面在映射 $w=\frac{2 i}{z+i}$ 下的像.
求将半带形域 $D=\left\{z: 0 < \operatorname{Im} z < \frac{\pi}{2}, \operatorname{Re} z < 0\right\}$ 映射到单位圆内部的保形映射.
利用 Laplace 变换求解微分方程组:
$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}(t)+x(t)-y(t)=-e^{2 t}, \quad x(0)=1 \\
y^{\prime}(t)+3 x(t)-2 y(t)=3 e^{-t}, \quad y(0)=1
\end{array}\right.
$
已知函数 $f(\xi)$ 在 $|\xi| \leq R$ 上解析, 设 $|\mathrm{z}| < \mathrm{R}$, 证明:
$$
\frac{1}{2 \pi i} \oint_{|\xi|=R}\left(\frac{f^2(\xi)}{(\xi-z)^2}-\frac{\bar{z} f(\xi)}{R^2-\xi \bar{z}}\right) \mathrm{d} \xi=2 f(z) f^{\prime}(z)
$$