福建省2023年中考数学真题试卷

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福建省2023年中考数学真题试卷

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 下列实数中, 最大的数是

A.

-1

B.

C.

D.

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2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体, 它的俯视图是

A.

B.

C.

D.

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3. 若某三角形的三边长分别为

3, 4, m

, 则

m

的值可以是

A.

B.

C.

D.

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4. 党的二十大报告指出, 我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系, 教育普及水平实现历史性跨越, 基本养老保险覆盖十亿四千万人, 基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五. 将数据 1040000000 用科学记数法表示为

A.

104 \times 10^{7}

B.

10.4 \times 10^{8}

C.

1.04 \times 10^{9}

D.

0.104 \times 10^{10}

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5. 下列计算正确的是

A.

(a^{2})^{3} = a^{6}

B.

a^{6} \div a^{2} = a^{3}

C.

a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}

D.

a^{2} - a = a

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6. 根据福建省统计局数据, 福建省 2020 年的地区生产总值为 43903.89 亿元, 2022 年的地区生产总值为 53109.85 亿元. 设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为

x

, 根据题意可列方程

A.

43903.89 (1 + x) = 53109.85

B.

43903.89 (1 + x)^{2} = 53109.85

C.

43903.89 x^{2} = 53109.85

D.

43903.89 (1 + x^{2}) = 53109.85

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7. 阅读以下作图步骤:
①在

O A

和

O B

上分别截取

O C, O D

, 使

O C = O D

; ②分别以

C, D

为圆心, 以大于

\frac{1}{2} C D

的长为半径作弧, 两弧在

∠ A O B

内交于点

M

; ③作射线

O M

, 连接

C M, D M

, 如图所示. 根据以上作图, 一定可以推得的结论是

A.

∠ 1 = ∠ 2

且

C M = D M

B.

∠ 1 = ∠ 3

且

C M = D M

C.

∠ 1 = ∠ 2

且

O D = D M

D.

∠ 2 = ∠ 3

且

O D = D M

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8. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各 1 小时体育活动时间”的要求, 学校要求学生每天坚持体育锻炼. 小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间 (单位: 分钟), 并制作了如图所示的统计图.根据统计图, 下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述, 正确的是

A.

平均数为 70 分钟

B.

众数为 67 分钟

C.

中位数为 67 分钟

D.

方差为 0

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9. 如图, 正方形四个顶点分别位于两个反比例函数

y = \frac{3}{x}

和

y = \frac{n}{x}

的图象的四个分支上, 则实数

n

的值为

A.

-3

B.

- \frac{1}{3}

C.

\frac{1}{3}

D.

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10. 我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”, 即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算, 指出“割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体, 而无所失矣”. “割圆术”孕育了微积分思想, 他用这种思想得到了圆周率

π

的近似值为 3.1416 . 如图,

⊙ O

的半径为 1 , 运用“割圆术”, 以圆内接正六边形面积近似估计

⊙ O

的面积, 可得

π

的估计值为

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

, 若用圆内接正十二边形作近似估计, 可得

π

的估计值为

A.

\sqrt{3}

B.

2 \sqrt{2}

C.

D.

2 \sqrt{3}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 某仓库记账员为方便记账, 将进货 10 件记作 +10 , 那么出货 5 件应记作

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12. 如图, 在

A B C D

中,

O

为

B D

的中点,

E F

过点

O

且分别交

A B, C D

于点

E, F

. 若

A E = 10

, 则

C F

的长为

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13. 如图, 在菱形

A B C D

中,

A B = 10, ∠ B = 60^{\circ}

, 则

A C

的长为

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14. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：

如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按 5: 2: 3 的比例计算其总成绩, 并录用总成绩最高的应聘者, 则被录用的是

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15. 已知

\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1

, 且

a \neq - b

, 则

\frac{a b - a}{a + b}

的值为

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16. 已知抛物线

y = a x^{2} - 2 a x + b (a > 0)

经过

A (2 n + 3, y_{1}), B (n - 1, y_{2})

两点, 若

A, B

分别位于抛物线对称轴的两侧, 且

y_{1} < y_{2}

, 则

n

的取值范围是

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 计算:

\sqrt{9} - 2^{0} + | - 1 |

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18. 解不等式组:

{\begin{cases} 2 x + 1 < 3, (1) \\ \frac{x}{2} + \frac{1 - 3 x}{4} \leq 1 . (2) \end{cases}

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19. 如图,

O A = O C, O B = O D, ∠ A O D = ∠ C O B

. 求证:

A B = C D

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20. 先化简, 再求值:

(1 - \frac{x + 1}{x}) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x}

, 其中

x = \sqrt{2} - 1

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21. 如图, 已知

△ A B C

内接于

⊙ O, C O

的延长线交

A B

于点

D

, 交

⊙ O

于点

E

, 交

⊙ O

的切线

A F

于点

F

, 且

A F / / B C

.
(1) 求证:

A O / / B E

;
(2) 求证:

A O

平分

∠ B A C

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22. 为促进消费, 助力经济发展, 某商场决定“让利酬宾”, 于“五一”期间举办了抽奖促销活动. 活动规定: 凡在商场消费一定金额的顾客, 均可获得一次抽奖机会. 抽奖方案如下: 从装有大小质地完全相同的 1 个红球及编号为(1)(2)(3)的 3 个黄球的袋中, 随机摸出 1 个球, 若摸得红球, 则中奖, 可获得奖品: 若摸得黄球, 则不中奖. 同时, 还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中, 并再往袋中加入 1 个红球或黄球 (它们的大小质地与袋中的 4 个球完全相同), 然后从中随机摸出 1 个球, 记下颜色后不放回, 再从中随机摸出 1 个球, 若摸得的两球的颜色相同, 则该顾客可获得精美礼品一份. 现已知某顾客获得抽奖机会.
(1) 求该顾客首次摸球中奖的概率;
（2）假如该顾客首次摸球未中奖, 为了有更大机会获得精美礼品, 他应往袋中加入哪种颜色的球? 说明你的理由。

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23. 阅读下列材料, 回答问题
任务: 测量一个扁平状的小水池的最大宽度, 该水池东西走向的最大度

A B

远大于南北走向的最大宽度, 如图 1 .
工具：一把皮尺（测量长度略小于

A B

) 和一台测角仪, 如图 2. 皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离 (这两点间的距离不大于皮尺的测量长度); 测角仪的功能是测量角的大小, 即在任一点

O

处, 对其视线可及的

P, Q

两点, 可测得

∠ P O Q

的大小, 如图 3 .

小明利用皮尺测量, 求出了小水池的最大宽度

A B

, 其测量及求解过程如下: 测量过程:
( i ) 在小水池外选点

C

, 如图 4, 测得

A C = a m, B C = b m

;
(ii) 分别在

A C, B C

上测得

C M = \frac{a}{3} m, C N = \frac{b}{3} m

; 测得

M N = cm

. 求解过程:
由测量知,

A C = a, B C = b, C M = \frac{a}{3}, C N = \frac{b}{3}

\begin{aligned} ∴ \frac{C M}{C A} = \frac{C N}{C B} = \frac{1}{3}, 又 ∵ ①, \\ ∴ △ C M N ∽ △ C A B, ∴ \frac{M N}{A B} = \frac{1}{3} . \\ 又 ∵ M N = c, ∴ A B = ② m \end{aligned}

故小水池的最大宽度为 ________

m

.

（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容;
(2) 小明求得

A B

用到的几何知识是 ________
(3) 小明仅利用皮尺, 通过 5 次测量, 求得

A B

. 请你同时利用皮尺和测角仪, 通过测量长度、角度等几何量, 并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度

A B

, 写出你的测量及求解过程.
要求: 测量得到的长度用字母

a, b, c \dots

表示, 角度用

α, β, γ \dots

表示; 测量次数不超过 4 次（测量的几何量能求出

A B

, 且测量的次数最少, 才能得满分).

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24. 已知抛物线

y = a x^{2} + b x + 3

交

x

轴于

A (1, 0), B (3, 0)

两点,

M

为抛物线的顶点,

C, D

为抛物线上不与

A, B

重合的相异两点, 记

A B

中点为

E

, 直线

A D, B C

的交点为

P

.
(1) 求抛物线的函数表达式;
(2) 若

C (4, 3), D (m, - \frac{3}{4})

, 且

m < 2

, 求证:

C, D, E

三点共线;
(3) 小明研究发现: 无论

C, D

在抛物线上如何运动, 只要

C, D, E

三点共线,

△ A M P, △ M E P, △ A B P

中必存在面积为定值的三角形. 请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积, 不必说明理由.

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25. 如图 1, 在

△ A B C

中,

∠ B A C = 90^{\circ}, A B = A C, D

是

A B

边上不与

A, B

重合的一个定点.

A O ⊥ B C

于点

O

, 交

C D

于点

E . D F

是由线段

D C

绕点

D

顺时针旋转

90^{\circ}

得到的,

F D, C A

的延长线相交于点

M

(1) 求证:

△ A D E \sim △ F M C

; (2) 求

∠ A B F

的度数;
(3) 若

N

是

A F

的中点, 如图 2. 求证:

N D = N O

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