单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
复数 $(1+i)^{22}=$
$\text{A.}$ $2048i$
$\text{B.}$ $2048$
$\text{C.}$ $-2048i$
$\text{D.}$ $-2048$
已知点 $P(-3,4)$ 是角 $\alpha$ 终边上一点, 则 $\frac{\sin 2 \alpha+2 \sin ^2 \alpha}{1+\tan \alpha}$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{24}{25}$
$\text{B.}$ $\frac{24}{25}$
$\text{C.}$ $-\frac{18}{25}$
$\text{D.}$ $\frac{18}{25}$
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
已知函数 $f_n(x)=\sin ^n x+\cos ^n x,\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f_1(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上单调递増
$\text{B.}$ $f_4(x)$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $f_3(x)$ 的值域为 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$\text{D.}$ $f_4(x)$ 的图象可以由函数 $g(x)=\frac{1}{4} \sin 4 x$ 的图象, 先向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位,再向上平移 $\frac{3}{4}$
个单位得到
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
某市统计学生成绩成整体正态分布$ N(80,100)$，从其中随机抽取100名学生，估计这100名学生中，分数超过100分的人数大约为 ________
( 附: $P(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma) \approx 0.6827, P(\mu-2 \sigma \leqslant X \leqslant \mu+2 \sigma) \approx 0.9545, P(\mu-3 \sigma \leqslant X \leqslant \mu+3 \sigma)$ $\approx 0.9973$ )
曲线 $y=\frac{e^{2 x-1}}{x^2}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$ 处的切线方稆为
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列. $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列 (公比不为 1$),\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 且 $a_1=b_1=3$, $a_4=b_2, a_1 a_5=T_3$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通顶公式;
(2) 设 $c_n=\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n},\left|c_n\right|$ 的前 $n$ 项和为 $M_n$. 对于任意正整数 $n$, 当 $M_n < m$ 恒成立吋, 求 $m$ 的最小值.
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\ln x+\frac{1}{2} x^2-a x(a>0)$.
(1) 设 $y=g(x)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在 $x=n$ 处的切线, 若 $y=f(x)-g(x)$ 有且仅有一个零点, 求 $n$;
(2) 若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 < x_2$, 且 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>m a^2-1$ 恒成立, 求正实数 $m$ 的取值范围.