单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $|A B|=0$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
$\text{B.}$ 若 $|\boldsymbol{A B}|=0$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A B} \neq \boldsymbol{O}$, 则 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 或 $|\boldsymbol{B}| \neq 0$
设向量组 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 则下列向量组线性无关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+\alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$
设含有 $m$ 个方程的 $n$ 元非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=r$, 则
$\text{A.}$ $r=n$ 时, $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解
$\text{B.}$ $r=m$ 时, $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有惟一解
$\text{C.}$ $m=n$ 时, $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有惟一解
$\text{D.}$ $r=m$ 时, $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解
若 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=6$, 则 $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ 0 & -2 & -1\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ -12
$\text{C.}$ 18
$\text{D.}$ 0
设 $n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充分必要条件是
$\text{A.}$ $r=n$
$\text{B.}$ $r < n$
$\text{C.}$ $r \geq n$
$\text{D.}$ $r>n$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $D=\left|\begin{array}{rrr}3 & -1 & 2 \\ -2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & -4\end{array}\right|, 2 A_{13}+A_{23}-4 A_{33}=$
三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $|2 \boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}|=0$, 则 $\boldsymbol{A}$ 有一个特征值为
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $|\boldsymbol{A}|=5$, 则 $|-2 \boldsymbol{A}|=$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 经过初等行变换化为 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 选 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为最大无关组, 则 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示为 $\alpha_4=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $\boldsymbol{A}$ 中每行元素之和都是 0 , 如果 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n-1$, 则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解的
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算
（1）$
\left|\begin{array}{lll}
2 & 5 & 4 \\
3 & 1 & 2 \\
5 & 4 & 6
\end{array}\right|
$
（2）$\left|\begin{array}{rrrr}
2 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 6 & 2 & 0 \\
1 & 1 & -2 & 3
\end{array}\right| .$
$
\text { 设 } \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{array}\right) \text {, 求 }(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})
$
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ k \\ 0\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}4 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ 线性相关, 求常数 $k$, 并找出一个最大无关组, 并用该最大无关组线性表示其余向量
求非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+2 x_2-2 x_3=1, \\ 2 x_1+x_2-x_3=2,\end{array}\right.$ 的向量形式通解.
设三阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=-\boldsymbol{\beta}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}}$, 且已知 $\boldsymbol{\xi}=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$ 是齐次线 性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解向量, 试求 $\boldsymbol{A}^{100}$.
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为: $1,2,3$, 求 $\left|A^3-5 A^2+7 A\right|$.
设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 若 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{B} $
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关, 证明: 该向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示.