设三阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=-\boldsymbol{\beta}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}}$, 且已知 $\boldsymbol{\xi}=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$ 是齐次线 性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解向量, 试求 $\boldsymbol{A}^{100}$.