如图所示，在坚直平面内长为 $L=0.9 \mathrm{~m}$ 的粗糙水平面 $M N$ 左侧与半径 $R=0.89 \mathrm{~m}$ 的四分之一光滑圆弧轨道平滑连接，右侧与一足够长的传送带平滑连接。传送带以恒定的速率 $v=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 逆时针转动．将物块 A 从光滑圆弧最高点由静止释放，经过 $M$ 点运动到 $N$ 点，再滑上传送带。已知 A 的质量为 $m=1 \mathrm{~kg}$ ，物块 A 与 $M N$ 间的动摩擦因数及传送带间的动摩擦因数都为 $\mu=0.1$ ，重力加速度 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。求：
（1）物块 A 第一次运动到 $N$ 点时的速度 $v_N$ ；
（2）物块 A 在传送带上第一次向右运动到最右端的过程中，两者摩擦产生的热量；
（3）物块 A 在 $M N$ 上运动的总路程 $s$ 。

如图所示为某商家为了吸引顾客设计的抽奖活动。 4 块尺寸相同的木板 A、B、C、 D 随机排序并紧挨着放在水平地面上，木板长度均为 $L=0.4 \mathrm{~m}$ ，质量均为 $m=0.3 \mathrm{~kg}$ ；下表面与地面间的动摩擦因数均为 $\mu=0.2, \mathrm{~A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C} 、 \mathrm{D}$ 的上表面各有不同的涂层，滑块与涂层间的动摩擦因数分别为 $\mu_{\mathrm{A}}=0.2 、 \mu_{\mathrm{B}}=0.4 、 \mu_{\mathrm{C}}=0.6 、 \mu_{\mathrm{D}}=0.8$ 。顾客以某一水平速度 $v_0$（未知），从左侧第一块木板的左端推出一质量 $M=0.5 \mathrm{~kg}$ 的滑块（视作质点）。从左向右数，若滑块最终停在第一、二、三、四块木板上就会分别获得四、三、二、一等奖，滑离所有木板则不获奖。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度 $g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。（结果可用根号表示）。
（1）若木板全部固定，要想获奖，求 $v_0$ 的取值范围；
（2）若木板不固定，从左向右按照 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C} 、 \mathrm{D}$ 的方式放置，要获得最高奖项，求 $v_0$ 的最小值。

如图所示，长木板 A 置于光滑水平面上，木板右端距固定平台距离 $d=4 \mathrm{~m}$ ，木板厚度与光滑平台等高，平台上固定半径 $R=0.3 \mathrm{~m}$ 的光滑半圆轨道，轨道末端与平台相切。木板左端放置滑块 B，滑块与木板上表面间的动摩擦因数 $\mu=0.2$ ，给滑块施加水平向右 $F=24 \mathrm{~N}$ 的作用力，作用时间 $t_1=1 \mathrm{~s}$ 后撤去 $F$ ，滑块质量 $m=3 \mathrm{~kg}$ ，木板质量 $M=2 \mathrm{~kg}$ ，滑块没有滑离木板，不计空气阻力，重力加速度 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。
（1）在 $0 \sim t_1$ 时间内，分别求 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 的加速度大小；
（2）若木板与平台间每次碰撞前后速度大小均不变，方向相反，最终滑块停在木板右端，求木板长度；
（3）若木板长度 $L=4.16 \mathrm{~m}$ ，且木板与平台第一次碰撞即与平台粘合在一起，滑块继续运动，求滑块通过轨道最高点时对轨道压力大小。

如图所示，悬点 O 下有一根长为 $L=1 \mathrm{~m}$ 的轻绳，悬挂质量为 $m_1=2 \mathrm{~kg}$ 的小球（小球与地面恰不挤压），将小球拉至与坚直方向成 $60^{\circ}$ 角处静止释放，到达最低点时，与静止在悬挂点正下方的物块 $m_2=2 \mathrm{~kg}$ 发生弹性正碰（小球与滑块均视为质点），碰撞后物块沿动摩擦因数为 $\mu_1=0.3$ 的水平面滑动，水平面长为 $S=1.5 \mathrm{~m}$ ，最后物块滑上停在光滑平面上的滑板上，滑板平面与粗糙水平面齐平，滑板与物块间的动摩擦因数 $\mu_2=0.1$ ，滑板质量 $M=2 \mathrm{~kg}$ ，物块没有从滑板上掉落，不计其它阻力。（ $g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ）试求：
（1）小球摆到最低点与物块碰撞前对轻绳的拉力。
（2）物块到达粗糙水平面右端时，物块的速度。
（3）物块在滑板上滑动过程中产生的热量是多少？
（4）物块不从滑板上掉落，滑板至少要多长？

如图所示，质量 $m=0.4 \mathrm{~kg}$ 的小球被内壁光滑的弹射器从 $A$ 点弹出，沿水平直轨道运动到 $B$ 点后，进入由两个四分之一细管（内径略大于小球的直径）组成的轨道，从轨道最高点 $C$ 水平飞出时，对轨道上表面的压力大小 $F_{\text {压 }}=4.1 \mathrm{~N}$ ，之后落在倾角为 $\alpha$ 的斜面上的 $D$ 点。已知 $|A B|=5 \mathrm{~m}, \tan \alpha=\frac{2}{3}$ ，两个四分之一细管的半径均为 $R=1.0 \mathrm{~m}, C$ 点位于斜面底端的正上方，小球在 $A B$ 段运动时受到的阻力大小等于自身所受重力的 $\frac{3}{10}$ ，其他摩擦均不计，小球可视为质点，取重力加速度大小 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。
（1）求小球离开 $A$ 点时的速度大小 $v_A$ ；
（2）求小球落到 $D$ 点时的动能 $E_{k D}$ ；
（3）当弹射器储存的弹性势能为多少时，小球落在斜面上时的动能最小，最小动能为多少？