单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
方阵 $A$ 可逆的充要条件是
$\text{A.}$ $A>0$
$\text{B.}$ $A \neq 0$
$\text{C.}$ $|A| \neq 0$
$\text{D.}$ $|A|>0$
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，则下列等式中成立的有
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
$\text{B.}$ $A B=B A$
$\text{C.}$ $|A B|=|B A|$
$\text{D.}$ $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$
如果 $D=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=2, \quad D_1=\left|\begin{array}{ccc}2 a_{11} & 2 a_{12}-6 a_{13} & 2 a_{13} \\ a_{21} & a_{22}-3 a_{23} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32}-3 a_{33} & a_{33}\end{array}\right|$ 则 $D_1=$
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ -21
下列 $\mathbb{R}^3$ 的子集是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间的是
$\text{A.}$ $\{(0,1, z) \mid z \in \mathbb{R}\}$
$\text{B.}$ $\{(x, y, z) \mid x-y+3 z=0, x, y, z \in \mathbb{R}\}$
$\text{C.}$ $\{(x, y, 2) \mid x, y \in \mathbb{R}\}$
$\text{D.}$ $\{(x, y, z) \mid x+y+z=1, x, y, z \in \mathbb{R}\}$
$n$ 阶矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值互异是 $A$ 与对角矩阵相似的
$\text{A.}$ 充分条件
$\text{B.}$ 必要条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也非必要条件
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A$ 是 4 阶方阵，$|A|=1 / 3$ ，则 $\left|(3 A)^{-1}\right|=$
设 $\alpha_1=(2,1,0), \alpha_2=(1,0,1), \alpha_3=(0,1,4)$ ，则 $2 \alpha_1-\alpha_2+4 \alpha_3=$
$n$ 元齐次线性方程组 $A x=0$ 存在非零解的充要条件是
设 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值，则矩阵 $B=A^3$ 的特征值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$ D_4=\left|\begin{array}{ccc}4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 10 & 5 & 2\end{array}\right|$
$ D_n=\left|\begin{array}{cccc}x_1-m & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2-m & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n-m\end{array}\right|$
求解线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2-3 x_3-x_4=1 \\
3 x_1-x_2-3 x_3+4 x_4=4 \\
x_1+5 x_2-9 x_3-8 x_4=0
\end{array}\right.
$$
求向量组 $\alpha_1=(1,-1,5,-1)^T, \alpha_2=(1,1,-2,3)^T, \alpha_3=(3,-1,8,1)^T$ ， $\alpha_4=(1,3,-9,-7)^T$ 的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。
利用正交变换把下面的二次型化为标准形，并写出所作的正交变换：
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
-2 & -2 & 4 \\
2 & 4 & -2
\end{array}\right)
$$
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2, \beta_2=\alpha_2+\alpha_3, \beta_3=\alpha_3+\alpha_1$证明：$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 也线性无关。
设方阵 $A$ 满足 $A^2-A-2 E=0$ ，证明：
（1）$A$ 与 $E-A$ 都可逆；
（2）$A+E$ 与 $A-2 E$ 中至少有一个是不可逆的．