填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A 、 B$ 是随机事件, $P(A)=0.7, P(A-B)=0.3$, 求 $P(\overline{A B})$.
设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2+2 x-1} \quad(-\infty < x < +\infty)$, 求 $E(X)$ 与 $D(X)$.
袋中有红球 4 只, 黑球 3 只, 从中任意取出 2 只, 求这 2 只球的颜色不相同的概率
设随机变量 $X$ 服从区间 $(0,2)$ 上的均匀分布, 求 $\frac{D(X)}{E\left(X^2\right)}$
设总体 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
(a+1) x^a & 0 < x < 1 \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
其中 $a>-1$ 为末知参数, $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 是从总体 $X$ 中抽取的一个样本, 求 $a$ 的矩估计量.
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知男人中有 $5.4 \%$ 是色盲患者, 女人中有 $0.27 \%$ 是色盲患者. 并且某学校学生中男、女生的比例为
$2: 1$, 现从这批学生中随机地选出一人, 发现此人是色盲患者, 试问此人是男生的概率为多少?
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)=A+B \arctan x \quad(-\infty < x < +\infty)
$$
试求: (1). 系数 $A$ 与 $B$; (2). 概率 $P\{-1 < X < 1\} ;$ (3). 随机变量 $X$ 的密度函数.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从平面区域
$$
D=\left\{(x, y): \quad x^2+y^2 \leq 1\right\}
$$
上的均匀分布.
(1). 试求二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数;
(2). 求随机变量 $X$ 及 $Y$ 各自的边缘密度函数;
(3). 求 $E(X), E(Y)$ 及 $E(X Y)$;
(4) 判断随机变量 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立? 是否不相关?
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y=X^2+1$, 试求随机变量 $Y$ 的密度函数.
某单位有 200 台分机, 每台分机有 $5 \%$ 的时间要使用外线通话. 假定每台分机是否使用外线是相互 独立的, 试用中心极限定理估计该单位至少要装多少条外线, 才能以 $99 \%$ 以上的概率保证分机使用外线时不 等待.
(已知 $\Phi(2.33)=0.99$, 其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布 $N(0,1)$ 的分布函数.)
设总体 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{6 x}{\theta^3}(\theta-x) & 0 < x < \theta \\
0 & \text { 其它 }
\end{array},\right.
$$
其中 $\theta>0$ 是末知参数, $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 是从该总体中抽取的一个样本.
(1). 求末知参数 $\theta$ 的矩估计 $\hat{\theta}$;
(2). 求 $D(\hat{\theta})$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且都服从标准正态分布 $N(0,1)$. 令随机变量
$$
Z=\sqrt{X^2+Y^2}
$$
(1) 试求随机变量 $Z$ 的密度函数 $f_Z(z)$. (2) 试求 $E(Z)$.
已知总体 $X$ 的分布律为
其中 $0 < \theta < 1$ 是末知参数, $\left(X_1, X_2, X_3\right)$ 是从中抽取的一个样本, 试求当样本观测值为 $\left(x_1=1, x_2=2, x_3=1\right)$ 时, 参数 $\theta$ 的最大似然估计值.