单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
设向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，但不能由向量组（I） $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{m-1}$ 线性表示，记向量组（II） $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m-1}, \boldsymbol{\beta}$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_m$ 不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示。
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_m$ 不能由（I）线性表示，但可由（II）线性表示。
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_m$ 可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示。
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_m$ 可由（I）线性表示，但不可由（II）线性表示。
设 $\boldsymbol{A}$ 是 4 阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 中
$\text{A.}$ 必有一列元素全为 0 。
$\text{B.}$ 必有两列元素对应成比例．
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合．
$\text{D.}$ 任一列向量是其余列向量的线性组合。
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=r < n$ ，那么在 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个行向量中
$\text{A.}$ 必有 $r$ 个行向量线性无关．
$\text{B.}$ 任意 $r$ 个行向量都线性无关．
$\text{C.}$ 任意 $r$ 个行向量都构成极大线性无关向量组．
$\text{D.}$ 任意一个行向量都可以由其他 $r$ 个行向量线性表示．
$n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha},(3 \leqslant s \leqslant n)$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ 存在一组不全为 0 的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，使 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha} s \neq \mathbf{0}$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ 、 中任意两个向量都线性无关．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ ，中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 均为 $n$ 维向量，那么下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关．
$\text{B.}$ 若对任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ ，都有 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m \neq \boldsymbol{0}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关．
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关，则对任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ ，都有 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$.
$\text{D.}$ 若 $0 \boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+0 \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 均为 $n$ 维向量，下列结论不正确的是
$\text{A.}$ 若对于任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，都有 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s \neq \mathbf{0}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ ，线性无关．
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ ，线性相关，则对于任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，都有 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_3 \boldsymbol{\alpha}_5=\mathbf{0}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ ，线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 $s$ 。
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．
设有任意两个 $n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ ，若存在两组不全为零的数 $\lambda_1$ ， $\cdots, \lambda_m$ 和 $k_1, \cdots, k_m,\left(\lambda_1+k_1\right) \boldsymbol{\alpha}_1+\cdots+\left(\lambda_m+k_m\right) \boldsymbol{\alpha}_m+\left(\lambda_1-k_1\right) \boldsymbol{\beta}_1+\cdots+\left(\lambda_m-\right. \left.k_m\right) \boldsymbol{\beta}_m=\mathbf{0}$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ 都线性相关．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ 都线性无关．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m+\boldsymbol{\beta}_m, \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m-\boldsymbol{\beta}_m$ 线性无关．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m+\boldsymbol{\beta}_m, \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m-\boldsymbol{\beta}_m$ 线性相关．
若向量组 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 线性无关， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\delta}$ 线性相关，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}$ 必可由 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\delta}$ 线性表示．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\beta}$ 必不可由 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\delta}$ 线性表示．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\delta}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 线性表示．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\delta}$ 必不可由 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 线性表示．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_2\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_3\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_4=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_4\end{array}\right)$ ，其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_4$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ ．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ ．
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，则向量组
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关。
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关。
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1$ 线性无关．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_1$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2, 2 \boldsymbol{\alpha}_2+3 \boldsymbol{\alpha}_3, 3 \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ ．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, 2 \boldsymbol{\alpha}_1-3 \boldsymbol{\alpha}_2+22 \boldsymbol{\alpha}_3, 3 \boldsymbol{\alpha}_1+5 \boldsymbol{\alpha}_2-5 \boldsymbol{\alpha}_3$.
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_1$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$.
$\text{C.}$ $\alpha_1-2 \alpha_2, \alpha_2-2 \alpha_3, \alpha_3-2 \alpha_1$ ．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+2 \boldsymbol{\alpha}_1$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为3维向量，则对任意常数 $k, l$ ，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1+k \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_2+l \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关的
$\text{A.}$ 必要非充分条件。
$\text{B.}$ 充分非必要条件．
$\text{C.}$ 充分必要条件．
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件．
设向量组 I： $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ ，可由向量组 II： $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}$ ，线性表示，则
$\text{A.}$ 当 $r < s$ 时，向量组 II 必线性相关．
$\text{B.}$ 当 $r>s$ 时，向量组 II 必线性相关．
$\text{C.}$ 当 $r < s$ 时，向量组 I 必线性相关．
$\text{D.}$ 当 $r>s$ 时，向量组 I 必线性相关．