单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调，下列结论正确的是 ．
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}_n$ 存在；
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+a_n^2}$ 存在；
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \tan a_n$ 存在；
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{\prime}}{1-a_n^2}$ 存在．
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中，与 $x$ 同阶的无穷小是
$\text{A.}$ $\sqrt{1+x}-1$ ；
$\text{B.}$ $\ln (1+x)-x$ ；
$\text{C.}$ $\cos (\sin x)-1$ ；
$\text{D.}$ $x^x-1$ ．
设 $f(x)=x \mathrm{e}^{-x}$ ，则 $f^{(n)}(x)=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $(-1)^n(1+n) x \mathrm{e}^{-x}$ ；
$\text{B.}$ $(-1)^n(1-n) x \mathrm{e}^{-x}$ ；
$\text{C.}$ $(-1)^n(x+n) \mathrm{e}^{-x}$ ；
$\text{D.}$ $(-1)^n(x-n) \mathrm{e}^{-x}$ ．
函数 $f(x)=\left|x^2+3 x-1\right|$ 的拐点数为 ．
$\text{A.}$ 0 个；
$\text{B.}$ 1 个；
$\text{C.}$ 2 个；
$\text{D.}$ 3 个．
设 $y=f(x)$ 在 $U\left(x_0, \delta\right)$ 内连续，在 $\dot{U}\left(x_0, \delta\right)$ 内可导，以下是三个断语：
（1）若 $f\left(x_0\right) \geqslant 0$ ，则存在 $\delta_1>0$ ，使得对任意 $x \in U\left(x_0, \delta_1\right)$ ，都有 $f(x) \geqslant 0$ ；
（2）若 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续；
（3）$f^{\prime}(x)$ 在 $\dot{U}\left(x_0, \delta\right)$ 内无第一类间断点．
上述三个断语中，正确的个数是（ ）。
$\text{A.}$ 0 个；
$\text{B.}$ 1 个；
$\text{C.}$ 2 个；
$\text{D.}$ 3 个．
已知在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=x+1+\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则当 $n \geqslant 2$ 时，$f^{(n)}(0)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 3 ；
$\text{B.}$ 2 ；
$\text{C.}$ 1 ；
$\text{D.}$ 0 ．
已知 $\int f\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{d} x=\sin \left(x^2\right)+C$ ，则 $f(x)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $2 x \cos \left(x^2\right)$ ；
$\text{B.}$ $4 x \cos \left(x^2\right)$ ；
$\text{C.}$ $2 x \cos \left(4 x^2\right)$ ；
$\text{D.}$ $4 x \cos \left(4 x^2\right)$ ．
下列广义积分收敛的是（ ）．
$\text{A.}$ $\int_0^1 \ln (1-x) \mathrm{d} x$ ；
$\text{B.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sin x}$ ；
$\text{C.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$ ；
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{x^2} \mathrm{~d} x$ ．
设 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in[a, b]$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$ ；
$\text{B.}$ $F(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} x+C(x \in[a, b])$ ；
$\text{C.}$ $\int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C$ ；
$\text{D.}$ $\int F(x) \mathrm{d} x=f(x)+C$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^t \sin 2 t \\ y=\mathrm{e}^t \cos t\end{array}\right.$ 在点 $t=0$ 处的切线方程为
若常数 $p>0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^p}{n^{p+1}-(n-1)^{p+1}}=$
函数 $y=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 的值域是
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=3(t-\sin t) \\ y=3(1-\cos t)\end{array}(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 的弧长为
微分方程 $y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0)=1$ 的特解为
设 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 是不共线的两个向量．若 $\overrightarrow{P Q}=2 \boldsymbol{a}+k \boldsymbol{b}, \overrightarrow{Q R}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \overrightarrow{R S}= 2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$ ，且 $P, Q$ 和 $S$ 三点共线，则 $k=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
分析函数 $y=\frac{x^2}{1+2 x}$ 的性态，并作出其简图．
$$
\left(y^{\prime}=\frac{2 x^2+2 x}{(1+2 x)^2}, y^{\prime \prime}=\frac{2}{(1+2 x)^3}\right) .
$$
计算不定积分 $\int \frac{3}{(x-1)\left(x^2+1\right)} \mathrm{d} x$ ．
计算不定积分 $\int \frac{2 x+1}{x^2} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ ．
计算定积分 $\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin ^2 x} \mathrm{~d} x$ ．
计算定积分 $\int_0^1 \arctan \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ．
求微分方程 $x y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=x^2$ 满足初始条件 $y(1)=-\frac{1}{12}, y^{\prime}(1)=0$ 的特解．
已知 $y_1=x \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2 x}, y_2=x \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}, y_3=x \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解．求此微分方程，并求此微分方程的通解．
已知直线 $l$ 过点 $(1,0,1)$ ，且与 $x$ 轴、 $y$ 轴的夹角分别为 $\frac{\pi}{3}$ 和 $\frac{\pi}{4}$ ，与直线 $l^{\prime}: \frac{x-(\sqrt{2}+1)}{1}=\frac{y-1}{\sqrt{2}}=\frac{z-2}{-1}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．
设抛物线 $y=a x^2+b x$ 在 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，$y \geqslant 0$ ，且该抛物线与 $x$ 轴及直线$x=1$ 所围图形的面积为 $\frac{1}{3}$ ，试确定 $a, b$ ，使此图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积 $V$ 最小．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明：对于定义在 $[0,1]$ 上的任意一个满足 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1$ 的非负连续函数 $f(x)$ ，都有 $\int_0^1 f(\sqrt{x}) \mathrm{d} x < 2$ ；
证明 若常数 $c < 2$ ，则存在一个定义在 $[0,1]$ 上的非负连续函数 $f(x)$ ，使得 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1$ ，且 $\int_0^1 f(\sqrt{x}) \mathrm{d} x>c$ ．