单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & |x|>1,\end{array}\right.$ 则 $f\{f[f(x)]\}$ 等于
$\text{A.}$ 0．
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ $\begin{cases}1, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & |x|>1 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $\begin{cases}0, & |x| \leqslant 1, \\ 1, & |x|>1 .\end{cases}$
$f(x)=|x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x}(-\infty < x < +\infty)$ 是
$\text{A.}$ 有界函数．
$\text{B.}$ 单调函数．
$\text{C.}$ 周期函数．
$\text{D.}$ 偶函数．
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$ ，且 $a \neq 0$ ，则当 $n$ 充分大时有
$\text{A.}$ $\left|a_n\right|>\frac{|a|}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\left|a_n\right| < \frac{|a|}{2}$ ．
$\text{C.}$ $a_n>a-\frac{1}{n}$ ．
$\text{D.}$ $a_n < a+\frac{1}{n}$ ．
函数 $f(x)=\frac{|x| \sin (x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$ 在下列哪个区间内有界
$\text{A.}$ $(-1,0)$ ．
$\text{B.}$ $(0,1)$ ．
$\text{C.}$ $(1,2)$ ．
$\text{D.}$ $(2,3)$ ．
设对任 意的 $x$ ，总有 $\varphi(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}[g(x)-\varphi(x)]=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$
$\text{A.}$ 存在且等于零．
$\text{B.}$ 存在但不一定等于零。
$\text{C.}$ 一定不存在．
$\text{D.}$ 不一定存在．
当 $x \rightarrow 0$ 时，变量 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是
$\text{A.}$ 无穷小。
$\text{B.}$ 无穷大。
$\text{C.}$ 有界的，但不是无穷小。
$\text{D.}$ 无界的，但不是无穷大．
设函数 $f(x)=x \tan x \mathrm{e}^{\sin x}$ ，则 $f(x)$ 是
$\text{A.}$ 偶函数．
$\text{B.}$ 无界函数．
$\text{C.}$ 周期函数．
$\text{D.}$ 单调函数．
设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上皆可导，且 $f(x) < g(x)$ ，则必有
$\text{A.}$ $f(-x)>g(-x)$ ．
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x) < g^{\prime}(x)$ ．
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow x} f(x) < \lim _{x \rightarrow x} g(x)$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t < \int_0^x g(t) \mathrm{d} t$.
函数 $f(x)=x \sin x$
$\text{A.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时为无穷大．
$\text{B.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界。
$\text{C.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界．
$\text{D.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时有有限极限．
设函数 $f(x)=\arctan x$ ，若 $f(x)=x f^{\prime}(\xi)$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\xi^2}{x^2}=$
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$ ．
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x=$
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ e．
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^{a-b}$ ．
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{b-a}$ ．
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}$ 为
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ 6 ．
$\text{C.}$ 36 ．
$\text{D.}$ $\infty$ ．
当 $x \rightarrow 1$ 时，函数 $\frac{x^2-1}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2 ．
$\text{B.}$ 等于 0 ．
$\text{C.}$ 为 $\infty$ ．
$\text{D.}$ 不存在但不为$\infty$
下列各式中正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0^+}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1$ ．
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$ ．
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=-\mathrm{e}$ ．
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}=\mathrm{e}$ ．
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，其中 $a, b$ 是常数，则
$\text{A.}$ $a=1, b=1$ ．
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$ ．
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$ ．
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$ ．
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^k}=c$ ，其中 $k, c$ 为常数，且 $c \neq 0$ ，则
$\text{A.}$ $k=2, c=-\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $k=2, c=\frac{1}{2}$ ．
$\text{C.}$ $k=3, c=-\frac{1}{3}$ ．
$\text{D.}$ $k=3, c=\frac{1}{3}$ ．
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{x}-\left(\frac{1}{x}-a\right) \mathrm{e}^x\right]=1$ ，则 $a$ 等于
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ 2 ．
$\text{D.}$ 3 ．
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a \tan x+b(1-\cos x)}{c \ln (1-2 x)+d\left(1-\mathrm{e}^{-x^{\prime}}\right)}=2$ ，其中 $a^2+c^2 \neq 0$ ，则必有
$\text{A.}$ $b=4 d$ ．
$\text{B.}$ $b=-4 d$ ．
$\text{C.}$ $a=4 c$ ．
$\text{D.}$ $a=-4 c$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-\frac{5}{2}$.
$\text{B.}$ $a=0, b=-2$.
$\text{C.}$ $a=0, b=-\frac{5}{2}$.
$\text{D.}$ $a=1, b=-2$.
设 $\left\{x_n\right\}$ 是数列，下列命题中不正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ ．
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$ ．
$\text{D.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ．
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x)=\sin x, f[\varphi(x)]=1-x^2$ ，求函数 $\varphi(x)$ 的定义域．
函数 $y=\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}}$ 的反函数为
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x)=\frac{|x|}{x}, g(x)=\frac{1-a^{\frac{1}{x}}}{1+a^{\frac{1}{x}}}(a>1)$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时的左、右极限，并说明 $x \rightarrow 0$ 时极限是否存在．
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right) \sin \frac{n \pi}{2}$ ，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 没有极限．
证明：数列 $x_n=(-1)^n \cdot \frac{n+1}{n}$ 是发散的．
利用极限定义证明下列极限：
（1） $\lim _{x \rightarrow 2}(5 x+2)=12$ ，
（2） $\lim _{x \rightarrow a} \sqrt{x}=\sqrt{a}(a>0)$ ．