单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
若随机变量 $X \sim B\left(5, \frac{1}{3}\right)$ ，则 $P(X=3)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{40}{243}$
$\text{C.}$ $\frac{10}{27}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{5}$
袋中装有 2 个红球， 3 个黄球，有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 球，则 3 次中恰有 2 次抽到黄球的概率是（ ）
$\text{A.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{18}{125}$
$\text{D.}$ $\frac{54}{125}$
从装有 3 个白球、 4 个红球的箱子中，随机取出了 3 个球，恰好是 2 个白球、 1 个红球的概率是（
$\text{A.}$ $\frac{4}{35}$
$\text{B.}$ $\frac{6}{35}$
$\text{C.}$ $\frac{12}{35}$
$\text{D.}$ $\frac{36}{343}$
在 $n\left(n \in N^*\right)$ 次独立重复试验中，每次试验的结果只有 $A, B, C$ 三种，且 $A$ ，
$B, C$ 三个事件之间两两互斥．已知在每一次试验中，事件 $A, B$ 发生的概率均为 $\frac{2}{5}$ ，则事件 $A, B, C$ 发生次数的方差之比为（ ）
$\text{A.}$ $5: 5: 4$
$\text{B.}$ $4: 4: 3$
$\text{C.}$ 3：3： 2
$\text{D.}$ 2：2： 1
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
若随机变量 $X \sim B\left(10, \frac{2}{3}\right)$ ，下列说法中正确的是
$\text{A.}$ $P(X=3)= C _{10}^3\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^7$
$\text{B.}$ 期望 $E(X)=\frac{20}{3}$
$\text{C.}$ 期望 $E(3 X+2)=22$
$\text{D.}$ 方差 $D(3 X+2)=20$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知随机变量 $X: B (6, p )$ ，且 $E(X)=3$ ，则 $P(X=1)=$
随机变量 $X \sim B\left(2, \frac{1}{3}\right)$ ，则 $\sigma(2 X+1)=$
现有 7 张卡片，分别写上数字 $1,2,2,3,4,5,6$ ．从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $\xi$ ，则 $P(\xi=2)=$ $\qquad$ ，$E(\xi)=$ $\qquad$
甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 和 $\frac{3}{5}$ ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 $\qquad$ ； 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为 $\qquad$ ．
在 4 次独立试验中，事件 A 出现的概率相同，若事件 A 至少发生 1 次的概率是 $\frac{65}{81}$ ，则事件 A 在一次试验中出现的概率是 $\qquad$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 $p(0 < p < 1)$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$ ，求 $f(p)$ 的最大值点 $p_0$ ；
（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 $p_0$ 作为 $p$ 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$ ，求 $E X$ ；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
已知一个射手每次击中目标的概率为 $P =\frac{3}{5}$ ，求他在 4 次射击中下列事件发生的概率．
（1）命中一次；
（2）命中两次．
已知一个射手每次击中目标的概率为 $P =\frac{3}{5}$ ，求他在 4 次射击中下列事件发生的概率．求：
（1）恰在第三次命中目标的概率；
（2）刚好在第二次、第三次两次击中目标的概率．
已知一个射手每次击中目标的概率为 $P =\frac{3}{5}$ ，求他在 4 次射击中下列事件发生的概率．求：
（1）至少命中一次的概率；
（2）至多命中两次的概率．
学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为＂双人对战＂，另一项为＂四人赛＂．活动规则如下：一天内参与＂双人对战＂活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得 2 分，失败得 1 分；一天内参与＂四人赛＂活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得 3 分，次局获胜得 2 分，失败均得 1 分．已知李明参加＂双人对战＂活动时，每局比赛获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ；参加＂四人赛＂活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为 $p, \frac{1}{3}$ ．李明周一到周五每天都参加了＂双人对战＂活动和＂四人赛＂活动（每天两局），各局比赛互不影响。
（1）求李明这 5 天参加＂双人对战＂活动的总得分 $x$ 的分布列和数学期望；
（2）设李明在这 5 天的＂四人赛＂活动（每天两局）中，恰有 3 天每天得分不低于 3 分的概率为 $f(p)$ ．求 $p$ 为何值时，$f(p)$ 取得最大值．
袋中有 8 个球，其中 5 个黑球， 3 个红球，从袋中任取 3 个球，求取出的红球数 X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．
袋中有 8 个球，其中 5 个黑球， 3 个红球，从袋中任取 3 个球，求取出的黑球数 X 的分布列．
一机床生产了 100 个汽车零件，其中有 40 个一等品、 50 个合格品、 10 个次品，从中随机地抽出 4 个零件作为样本．用 $X$ 表示样本中一等品的个数．
（1）若有放回地抽取，求 $X$ 的分布列；
（2）若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例．
① 求误差不超过 0.2 的 $X$ 的值；
② 求误差不超过 0.2 的概率（结果不用计算，用式子表示即可）
唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有 1300 多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取 3 件作检验，这 3 件唐三彩中优质品的件数记为 $n$ ，如果 $n=2$ ，再从这批唐三彩中任取 3 件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验：如果 $n=3$ ，再从这批唐三彩中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验，其他情况下，这批唐三彩的优质品概率为 $\frac{1}{3}$ ，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为 $\frac{1}{3}$ ，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．
（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；
（2）已知每件唐三彩的检验费用为 100 元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为 $X$ 元，求 $X$ 的分布列及数学期望．
近平总书记在党的十九大报告中指出，保障和改善人民最关心最直接最现实的利益问题要从＂让人民群众满意的事情＂做起。2021年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分 100 分），绘制成如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
