唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有 1300 多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取 3 件作检验，这 3 件唐三彩中优质品的件数记为 $n$ ，如果 $n=2$ ，再从这批唐三彩中任取 3 件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验：如果 $n=3$ ，再从这批唐三彩中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验，其他情况下，这批唐三彩的优质品概率为 $\frac{1}{3}$ ，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为 $\frac{1}{3}$ ，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．
（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；
（2）已知每件唐三彩的检验费用为 100 元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为 $X$ 元，求 $X$ 的分布列及数学期望．