设 $f(x)$ 定义在 $(a, b)$ 上，$a < c < d < b$ ．若对任意的 $x \in[c, d]$ ，存在正数 $M_x$ 以及 $\delta_x\left(\delta_x < \min \{c-a, b-d\}\right)$ ，使得 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in\left(x-\delta_x, x+\delta_x\right)$ ，有

$$
\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant M_x\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right| \quad \text { (点点 Lip1). }
$$


则存在正数 $M$ ，对一切 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[c, d]$ 有

$$
\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant M\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right| \quad \text { (整体 Lip1). }
$$

试作由有理端点作成的区间列：

$$
\left[a_1, b_1\right] \supset\left[a_2, b_2\right] \supset \cdots\left[a_n, b_n\right] \supset \cdots,
$$


使得交集 $\bigcap_{n=1}^{\infty}\left[a_n, b_n\right]$ 不含有理数。

设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上不是常数（函数），则存在 $x_0 \in(a, b)$ 以及 $D>0$ ，使得对任意的 $\delta>0$ ，存在 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right) \cap(a, b)$ ，有

$$
\left|\left[f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right] /\left(x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right)\right| \geqslant l .
$$

若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上无界，试证明存在 $x_0 \in[a, b]$ ，对任意的 $\delta>0$ ，使得 $f(x)$ 在 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$ 上无界。