单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，则 $[D(k X)]^2 \cdot E X=()$ ．
$\text{A.}$ $k^2 \lambda^2$
$\text{B.}$ $k^2 \lambda^4$
$\text{C.}$ $k^4 \lambda^2$
$\text{D.}$ $k^4 \lambda^3$
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,4)$ ，且相关系数 $\rho_{X Y}=1$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $P\{Y=-2 X-1\}=1$
$\text{B.}$ $P\{Y=2 X-1\}=1$
$\text{C.}$ $P\{Y=-2 X+1\}=1$
$\text{D.}$ $P\{Y=2 X+1\}=1$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知离散型随机变量 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布，则随机变量 $Z=3 X-2$ 的数学期望 $E(Z)=$ 4
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布，求数学期望 $E(X)$ ．
设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的指数分布，则数学期望 $E\left(X+e^{-2 X}\right)=$
设随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，则 $E\left(X e^{2 X}\right)=$
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.5 \Phi(x)+0.5 \Phi\left(\frac{x-4}{2}\right)$ ，其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $E(X)=$
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=-2\}=\frac{1}{2}, P\{X=1\}=a, P\{X=3\}=b$ ，若 $E X=0$ ，则 $D X=$
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 独立同分布，且方差为 $\sigma^2>0$ ，记 $Y_1=\sum_{i=2}^n X_i$ 和 $Y_n=\sum_{j=1}^{n-1} X_j$ ，则 $Y_1$ 和 $Y_n$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(Y_1, Y_n\right)=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{lc}0, & x < -1, \\ 0.2, & -1 \leq x < 0, \\ 0.8, & 0 \leq x < 1, \\ 1, & x \geq 1,\end{array}\right.$求期望 $E X$
设随机变量 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，即 $X$ 分布律为
$$
P\{X=k\}=(1-p)^{k-1} p, k=1,2, \cdots
$$
求 $E X$ ．
设随机变量 $Y$ 服从参数为 1 的指数分布，
$$
X_k=\left\{\begin{array}{l}
0, Y \leq k, \\
1, Y>k,
\end{array}(k=1,2)\right.
$$
求 $E\left(X_1+X_2\right)$ ．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数为
$$
f(x, y)= \begin{cases}2 x e^{-(y-5)}, 0 \leq x \leq 1, y \geq 5, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求 $E(X Y)$ ．
假设 $(X, Y)$ 在区域 $D=(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2$ 上服从均匀分布，$Z=\max \{X, Y\}$ ，求 $E(Z)$
已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，求随机变量 $Y=e^{m X}$ 的数学期望与方差．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D: 0 < x < 1,|y| < x$ 内服从均匀分布，求关于 $X$的边缘概率密度函数及随机变量 $Z=2 X+1$ 的方差 $D(Z)$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{2}{\pi\left(1+x^2\right)}, & |x| < 1 \\ 0, & |x| \geq 1\end{cases}
$$
则 $E(\sin X)=$ $\qquad$ ；$D X=$ $\qquad$ ．