1. 在 $R ^3$ 中有两组基．

$$
\xi_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \xi_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
2
\end{array}\right) .
$$
$$
\eta_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \eta_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \eta_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right) .
$$


求：（1）由基 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 到基 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 的过渡矩阵；
（2）求 $\alpha =(1,3,0)^{ T }$ ．在 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 和 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 下的坐标．

2. 在 $R^4$ 中．有一组自然基：$e_1=(1,0,0,0)^{ T }, e_2=(0,1,0,0)^{ T }$ ， $e_3=(0,0,1,0)^{ T }, e_4=(0,0,0,1)^{ T }$ ．另有一组基 $\beta _1=(2,1,-1,1)^{ T }, \beta _2=(0$ ， $3,1,0)^{ T } . \beta _3=(5,3,2,1)^{ T }, \beta _4=(6,6,1,3)^{ T }$ ．
求：（1）自然基到基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3, \beta _4$ 的过渡矩阵。
（2）对两组基有相同坐标的非零向量．

3. 在 $R ^n$ 中已知 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 与 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 为两组基，任一向量 $\alpha$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 下的坐标为 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{ T }$ 。在基 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 下的坐标为 $\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)^{ T }$ ，它们之间的关系为

$$
y_1=x_1, y_2=x_2-x_1, y_3=x_3-x_2, \cdots, y_n=x_n-x_{n-1}
$$


求 $R ^n$ 中的基变换公式。