一、解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1. 设 $A \in M_{m k}, B \in M_{k n}, A B=0$ ，则 $B$ 的各列为线性齐次方程组 $A X=0$ 的解向量．
2. $ A, B \in M_n$ ，证明 $\left|\begin{array}{cc}A & i \\ I & B\end{array}\right|=|A B-I|$ ．
3. 已知 $A, B, C, D \in M_n$ ．且 $A$ 可逆，$A C=C A$ ，设 $M=$ $\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，求证：
$$
|M|=|A D-C B| .
$$
4. 计算 $$
\left|\begin{array}{cccc}
1+x_1 y_1 & x_1 y_2 & \cdots & x_1 y_n \\
x_2 y_1 & 1+x_2 y_2 & \cdots & x_2 y_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_n y_1 & x_n y_2 & \cdots & 1+x_n y_n
\end{array}\right|
$$
5. 求解线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+2 x_3+3 x_4=1 \\
2 x_1+3 x_2+5 x_3+2 x_4=-3 \\
3 x_1+5 x_2+2 x_3-2 x_4=-10 \\
4 x_1+7 x_2+5 x_3-3 x_4=-14
\end{array}\right.
$$
6. 设方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
p x_1+x_2+x_3=4 \\
x_1+t x_2+x_3=3 \\
x_1+2 t x_2+x_3=4
\end{array}\right.
$$
问 $p, t$ 为何值时，方程组有惟一解，无穷多解和无解？并在有解时求解．