构造函数以及切线归类5

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构造函数以及切线归类5

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 过曲线

y = \cos x

上一点

P (\frac{π}{3}, \frac{1}{2})

且与曲线在

P

点处的切线垂直的直线的方程为

A.

2 x - \sqrt{3} y - \frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0

B.

2 x + y - \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} = 0

C.

2 x + \sqrt{3} y - \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0

D.

2 x - y - \frac{2 π}{3} + \frac{1}{2} = 0

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2. 若过点

(a, b)

可作曲线

y = x^{2} - 2 x

的两条切线，则点

(a, b)

可以是（）

A.

(0, 0)

B.

(1, 1)

C.

(2, 0)

D.

(3, 2)

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3. 函数

f (x)

是定义在区间

(0, + \infty)

上可导函数，其导函数为

f^{'} (x)

，且满足

x f^{'} (x) + 2 f (x) > 0

，则不等式

\frac{(x + 2019) f (x + 2019)}{5} < \frac{5 f (5)}{x + 2019}

的解集为

A.

{x | x ⟩ - 2014}

B.

{x ∣ - 2019 < x < - 2014}

C.

{x ∣ 0 < x < 2014}

D.

{x ∣ x < - 2014}

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f (x)

是定义在非零实数集上的函数，

f^{'} (x)

为其导函数，且

x > 0

时，

x f^{'} (x) - f (x) < 0

，记

a = 2^{- 0.2} f (2^{0.2})

，

b = \frac{2}{3} f (\frac{3}{2}), c = \frac{f (\log_{2} 3)}{\log_{2} 3}

则

()

A.

c < b < a

B.

b < a < c

C.

c < a < b

D.

a < b < c

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5. 已知定义在

R

上的可导函数

f (x)

满足：

f^{'} (x) + f (x) < 0

，则

\frac{f (m - m^{2})}{e^{m^{2} - m + 1}}

与

f (1)

的大小关系是

A.

\frac{f (m - m^{2})}{e^{m^{2} - m + 1}} > f (1)

B.

\frac{f (m - m^{2})}{e^{m^{2} - m + 1}} < f (1

C.

\frac{f (m - m^{2})}{e^{m^{2} - m + 1}} \geq f (1)

D.

不确定

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6. 定义在

R

上的函数

f (x)

的导函数为

f^{'} (x)

，若

f^{'} (x) < f (x)

，则不等式

e^{x} ∙ f (2 x) < e^{4} ∙ f (3 x - 4)

的解集是

A.

(- \infty, 2)

B.

(2, + \infty)

C.

(4, + \infty)

D.

(- \infty, 4)

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7. 已知

f (x)

是定义在

(- \infty, 0) U (0, + \infty)

上的奇函数，

f^{'} (x)

是

f (x)

的导函数，

f (1) \neq 0

，且满足：

f^{'} (x) \cdot \ln x + \frac{f (x)}{x} < 0

，则不等式

(x - 1) \cdot f (x) < 0

的解集为（）

A.

(1, + \infty)

B.

(- \infty, - 1) \cup (0, 1)

C.

(- \infty, 1)

D.

(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)

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8. 已知定义在

(0, \frac{π}{2})

上的函数，

f^{'} (x)

为其导函数，且

\frac{f (x)}{\sin x} < \frac{f^{'} (x)}{\cos x}

恒成立，则

A.

f (\frac{π}{2}) > 2 f (\frac{π}{6})

B.

\sqrt{3} f (\frac{π}{4}) > \sqrt{2} f (\frac{π}{3})

C.

\sqrt{3} f (\frac{π}{6}) < f (\frac{π}{3})

D.

f (1) < 2 f (\frac{π}{6}) \sin 1

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9. 已知奇函数

f (x)

的定义域为

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

，且

f^{'} (x)

是

f (x)

的导函数，若对任意

x \in (- \frac{π}{2}, 0)

，都有

f^{'} (x) \cos x + f (x) \sin x < 0

则满足

f (θ) < 2 \cos θ \cdot f (\frac{π}{3})

的

θ

的取值范围是（）

A.

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{3})

B.

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{3}) U (\frac{π}{3}, \frac{π}{2})

C.

(- \frac{π}{3}, \frac{π}{3})

D.

(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})

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10. 已知函数

f (x)

的导函数为

f^{'} (x)

，若

2 f (x) + f^{'} (x) > 2, f (0) = 5

，则不等式

f (x) - 4 e^{- 2 x} > 1

的解集为

A.

(1, + \infty)

B.

(- \infty, 0)

C.

(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)

D.

(0, + \infty)

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 已知直线

l : y = 3 x + 2

，函数

f (x) = \ln x - a x + \frac{1}{3}

，若

f (x)

存在切线与

l

关于直线

y = x

对称，则

a =

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12. 过点

(1, 0)

作曲线

y = e^{| x |}

的两条切线，则这两条切线的斜率之和为

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13. 已知直线

y = k x + b

是曲线

y = \ln (1 + x)

与

y = 2 + \ln x

的公切线，则

k + b =

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14. 若直线

y = k x + b

是曲线

f (x) = e^{x - 2}

与

g (x) = e^{x + 2022} - 2022

的公切线，则

k =

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