填空题 （共 15 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$A, B, C$ 三个事件至少有一个发生用事件的运算可表示为 $\qquad$ ．
设 $X \sim U(0,10)$ ，则关于 $y$ 的二次方程 $y^2+4 y+X=0$ 有实根的概率为
3 个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}$ ，则此密码被破译出的概率是
设 $X \sim \chi^2(3), Y \sim \chi^2(6)$ ，且 $X, Y$ 相互独立，则 $X+Y \sim$
设 $A, B$ 为两个事件，且 $P(A)=0.4, P(\bar{B} \mid A)=0.6$ ，则 $P(A B)=$
设随机变量 $X, Y, Z$ 相互独立，且 $X \sim N(1,5), Y \sim N(0,2), Z \sim N(2,4)$ ，则 $P(2 X+3 Y-Z \leqslant 0)=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $\chi^2(n)$ 分布的样本，则 $E(\bar{X})=$
设随机变量 $X$ 具有密度函数
$$
f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 2-x, & 1 < x \leqslant 2 \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}
$$
求 $E(X)$ 及 $D(X)$
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x, \theta)= \begin{cases}\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x < 0\end{cases}
$$
其中 $\theta>0$ 为未知参数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自总体 $X$ 的样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的一组观察值，试求 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计值 。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度 ${ }^{+}$为
$$
f(x, y)= \begin{cases}6 e^{-(2 x+3 y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}
$$
（1）求边缘概率密度 $ f_X(x)$ ；（2）求，其中 $D=\{(x, y) \mid y \geqslant x\}$ ．
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}c e^{-x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}
$$
（1）求常数 $c$ ；
（2）求 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ；
（3）求 $Y=2 X+1$ 的概率密度 $f_Y(y)$ ．
设随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律为
（1）求 $X, Y$ 的边缘分布律；
（2）判别 $X, Y$ 是否相互独立；
（3）求协方差 $\operatorname{Cov}(X, Y)$ ．
设 $E(X)=3, E(Y)=1, D(X)=4, D(Y)=9, \rho_{X Y}=0.25$ ， $Z=2 X+Y+9$ ，求 $E(Z)$ 和 $D(Z)$ ．
有两箱同种类的零件，第一箱 50 只，其中 10 只一等品；第二箱 30 只，其中 18 只一等品．今从两箱中任取一箱，然后再从该箱中任取—只，求：（1）取到的是一等品的概率；（2）若取到的是一等品，它是来自第一箱的概率。
从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个十字路口，假设在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 $\frac{2}{5}$ ．设 $X$ 为途中遇到红灯的次数，求 $X$ 的分布律和分布函数．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的一个样本，其中 $\mu$ 已知，证明：估计量 $S_n^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量．