单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x, y)=\sqrt{|x y|}$ 在点 $(0,0)$ 处 $\qquad$
$\text{A.}$ 偏导数不存在
$\text{B.}$ 偏导数存在，但不可微
$\text{C.}$ 可微但偏导数不连续
$\text{D.}$ 偏导数连续
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ．
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ．
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．
解答题 （共 18 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y^2}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，判断 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处是否可微分．
由方程 $x y z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 在点 $(1,0,-1)$ 处的全微分 $d z$ $=$
设 $z=\arctan \frac{x}{y}$ ，而 $x=u+v, y=u-v$ ，证明 $\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{u-v}{u^2+v^2}$
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，$g$ 具有二阶连续导数，求
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}
$$
设 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 及 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
设 $2 \sin (x+2 y-3 z)=x+2 y-3 z$ ，证明 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=1$ ．
设 $\varphi(u, v)$ 具有连续偏导数，证明由方程 $\varphi(c x-a z, c y-b z)=0$ 所确定的函数 $z=f(x, y)$ 满足
$$
a \frac{\partial z}{\partial x}+b \frac{\partial z}{\partial y}=c
$$
设 $e^z-x y z=0$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ ．
说明函数 $z=x y$ 在点 $(0,0)$ 处既不取极大值也不取极小值．
求函数 $f(x, y)=x^3-y^3+3 x^2+3 y^2-9 x$ 的极值．
求函数 $u=x y z$ 在附加条件 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}, x>0, y>0, z>0, a>0$ 下的极值．
已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $d z=2 x d x-2 y d y$ ，并且 $f(1,1)=2$ ．求 $z=f(x, y)$ 在椭圆域
$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^2+\frac{y^2}{4} \leq 1\right.\right\}
$$
求函数 $f(x, y)=e^{2 x}\left(x+y^2+2 y\right)$ 的极值．
求表面积为 $a^2$ 而体积为最大的长方体的体积．
求内接于半径为 $a$ 的球且有最大体积的长方体．
设 $z=f(u, x, y), u=x e^y$ ，其中 $f$ 具有连续的二阶偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $x=e^u \cos v, y=e^u \sin v, z=u v$ ，试求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微，且
$$
f(1,1)=1,\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)}=2,\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)}=3, \varphi(x)=f(x, f(x, x)) .
$$
$$
\text { 求 }\left.\frac{d}{d x} \varphi^3(x)\right|_{x=1} \text {. }
$$