2024 年＂五一＂假期期间，阆中古城景区某特产店销售 $A, B$ 两类特产．$A$ 类特产进价 50 元／件，$B$ 类特产进价 60 元／件．已知购买 1 件 $A$ 类特产和 1 件 $B$ 类特产需 132 元，购买 3 件 $A$ 类特产和 5 件 $B$ 类特产需 540元．
（1）求 $A$ 类特产和 $B$ 类特产每件的售价各是多少元？
（2）$A$ 类特产供货充足，按原价销售每天可售出 60 件．市场调查反映，若每降价 1 元，每天可多售出 10 件 （每件售价不低于进价）。设每件 $A$ 类特产降价 $x$ 元，每天的销售量为 $y$ 件，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于 $B$ 类特产供货紧张，每天只能购进 100 件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为 $w$ 元，求 $w$ 与 $x$ 的函数关系式，并求出每件 $A$ 类特产降价多少元时总利润 $w$ 最大，最大利润是多少元？（利润 $=$ 售价一进价）

请根据以下素材，完成探究任务．

每年 5 月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是＂科技助残，共享美好生活＂，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利 200 元时，每天可售出 60 辆；单价每降低 10 元，每天可多售出 4 辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 180 元，设每辆轮椅降价 $x$ 元，每天的销售利润为 $y$ 元．
（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润 12160 元，请问这天售出了多少辆轮椅？

如图，一小球从斜坡 $O$ 点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数 $y=a x^2+b x(a < 0)$ 刻画，斜坡可以用一次函数 $y=\frac{1}{4} x$ 刻画，小球飞行的水平距离 $x$（米）与小球飞行的高度 $y$（米）的变化规律如下表：


（1） ① $m=$ $\qquad$ ，$n=$ $\qquad$ ；
② 小球的落点是 $A$ ，求点 $A$ 的坐标．
（2）小球飞行高度 $y$（米）与飞行时间 $t$（秒）满足关系 $y=-5 t^2+v t$ ．
① 小球飞行的最大高度为 $\qquad$米；
② 求 $v$ 的值．

如图，$\triangle A B C$ 中，$A C=B C, \angle A C B=90^{\circ}, A(-2,0), C(6,0)$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0, x>0)$ 的图象与 $A B$交于点 $D(m, 4)$ ，与 $B C$ 交于点 $E$ ．
（1）求 $m, k$ 的值；
（2）点 $P$ 为反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0, x>0)$ 图象上一动点（点 $P$ 在 $D, E$ 之间运动，不与 $D, E$ 重合），过点 $P$作 $P M / / A B$ ，交 $y$ 轴于点 $M$ ，过点 $P$ 作 $P N / / x$ 轴，交 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $M N$ ，求 $V P M N$ 面积的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标．

在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡 $O A$ ，从点 $O$ 处抛出一个小球，落到点 $A\left(3, \frac{3}{2}\right)$ 处．小球在空中所经过的路线是抛物线 $y=-x^2+b x$ 的一部分．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线最高点的坐标；
（3）斜坡上点 $B$ 处有一棵树，点 $B$ 是 $O A$ 的三等分点，小球恰好越过树的顶端 $C$ ，求这棵树的高度．

将一个平行四边形纸片 $O A B C$ 放置在平面直角坐标系中，点 $O(0,0)$ ，点 $A(3,0)$ ，点 $B, C$ 在第一象限，且 $O C=2, \angle A O C=60^{\circ}$ ．
（1）填空：如图 ① ，点 $C$ 的坐标为 $\qquad$ ，点 $B$ 的坐标为 $\qquad$ ；
（2）若 $P$ 为 $x$ 轴的正半轴上一动点，过点 $P$ 作直线 $l \perp x$ 轴，沿直线 $l$ 折叠该纸片，折叠后点 $O$ 的对应点 $O^{\prime}$ 落在 $x$ 轴的正半轴上，点 $C$ 的对应点为 $C^{\prime}$ ．设 $O P=t$ ．
① 如图 ② ，若直线 $l$ 与边 $C B$ 相交于点 $Q$ ，当折叠后四边形 $P O^{\prime} C^{\prime} Q$ 与 $Y O A B C$ 重叠部分为五边形时，$O^{\prime} C^{\prime}$ 与 $A B$ 相交于点 $E$ ．试用含有 $t$ 的式子表示线段 $B E$ 的长，并直接写出 $t$ 的取值范围；
② 设折叠后重叠部分的面积为 S ，当 $\frac{2}{3} \leq t \leq \frac{11}{4}$ 时，求 S 的取值范围（直接写出结果即可）．