一、单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
1. 已知 $x>y>0$ ，则 $\frac{x^2+y^2}{x y-y^2}$ 的最小值是（）
$\text{A.}$ $2+\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{5}+2$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}+2$
$\text{D.}$ 2
2. 已知 $x, y$ 为正实数，则 $\frac{y}{x}+\frac{16 x}{2 x+y}$ 的最小值为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
3. 若 $a, b$ 均为正实数，则 $\frac{a b+b}{a^2+b^2+1}$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ 2
4. 函数 $f(x)=\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2} \sqrt{4+x^2}}$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
5. 已知 $x^2-3 x y+2 y^2=1(x, y \in R )$ ，则 $x^2+y^2$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\sqrt{10}-6$
$\text{B.}$ $\sqrt{10}+6$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{10}+6$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{10}-6$
6. 已知 $x, y, z \in R ^*, x+y+z=1$ ，则 $\sqrt{x y}+\sqrt{x z}-y-z$ 的最大值是（）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
7. 已知 $0 < a < 1,0 < b < 1$ ，且 $4(a+b)=4 a b+3$ ，则 $a +2 b$ 的最大值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $3-\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $3-2 \sqrt{2}$
8. 已知 $x>y>0$ ，且 $x^2-y^2=1$ ，则 $2 x^2+3 y^2-4 x y$ 的最小值为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{17}{16}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{8}$
9. 已知 $x^2-3 x y+2 y^2=1(x, y \in R )$ ，则 $x^2+y^2$ 的最小值为（ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{10}-6$
$\text{B.}$ $\sqrt{10}+6$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{10}+6$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{10}-6$
10. 已知正实数 $a, b$ 满足 $a^2+2 a b+4 b^2=6$ ，则 $a +2 b$ 的最大值为（ ）
$\text{A.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ 2
11. 已知实数 $x, ~ y$ 满足 $4 x^2+y^2-x y=1$ ，且不等式 $2 x+y+c>0$ 恒成立，则 $c$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(2 \sqrt{3},+\infty)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{2 \sqrt{6}}{3},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $(3 \sqrt{2},+\infty)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 2 \sqrt{2})$
12. 已知 $a, b$ 为非负数，且满足 $2 a+b=6$ ，则 $\left(1+a^2\right)\left(4+b^2\right)$ 的最大值为 ()
$\text{A.}$ 40
$\text{B.}$ $\frac{167}{4}$
$\text{C.}$ 42
$\text{D.}$ $\frac{169}{4}$
13. 函数 $f(x)=\frac{x^3-x}{x^4+x^2+1}$ 在区间 $[1,3]$ 上
$\text{A.}$ 有最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，最小值为 0
$\text{B.}$ 有最大值为 $\frac{24}{91}$ ，最小值为 0
$\text{C.}$ 有最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，无最小值
$\text{D.}$ 有最大值为 $\frac{24}{91}$ ，无最小值
14. 已知 $a, b \in R^{+}$，且 $a+2 b=3 a b$ ，则 $2 a+b$ 的最小值为 ()
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 9
15. 已知 $x>0, y>0$ ，且 $x+y=4$ ，则 $\frac{x^2+4}{x}+\frac{y^2+1}{y}$ 的最小值为（）
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $\frac{7}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{25}{4}$
$\text{D.}$ 5
二、填空题 （共 13 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
16. 已知 $x>0, y>0$ ，则 $\frac{6 x y}{x^2+9 y^2}+\frac{2 x y}{x^2+y^2}$ 的最大值是
17. 若实数 $x, y$ 满足 $x>y>0$ ，且 $\log _2 x+\log _2 y=1$ ，则 $\frac{x-y}{x^2+y^2}$ 的最大值为
18. 已知 $x, y \in R$ 且满足 $2 x^2-y^2+x y=2$ ，则 $x^2+2 y^2$ 的最小值是
19. 设 $x, y \in R$ ，若 $16 x^2+y^2+4 x y=3$ ，则 $4 x+y$ 的最大值为
20. 设 $x, y$ 均为正数，且 $x+4 y=4$ ，则 $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}$ 的最小值为
21. 已知 $a>0, b>0, a+b=1$ ，则 $\frac{1}{a+4 b}+\frac{1}{2 a+b}$ 的最小值为
22. 已知 $m, n \in R$ ，且 $m>n>0, m+n=1$ ，则 $\frac{6}{m-n}+\frac{1}{3 n}$ 的最小值为
23. 若正实数 $x, y$ 满足 $2 x+y=2$ ，则 $\frac{4 x^2}{y+1}+\frac{y^2}{2 x+2}$ 的最小值是
24. 已知正实数 $a, ~ b$ 满足 $a>1, b>1$ ，且 $2 a+3 b=6$ ，则 $\frac{2}{a-1}+\frac{3}{b-1}$ 的最小值为
25. 已知 $a, ~ b \in(0,+\infty)$ ，且 $a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=5$ ，则 $a+b$ 的取值范围是
26. 已知 $2 a-b=2$ ，且 $0 < a+b < 2$ ，则 $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-2 b}$ 的最小值为
27. 已知 $x^2 y^2+y^4=1(x, y \in R )$ ，则 $x^2+3 y^2$ 的最小值是
28. 若实数 $x, y$ 满足 $2 x^2+x y-y^2=1$ ，则 $\frac{x-2 y}{5 x^2-2 x y+2 y^2}$ 的最大值为
三、解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
29. 已知正实数 $x, y_{\text {满足 }} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=x^2-y^2$ ，则 $x^2+y^2$ 的最小值为
30. 已知 $x^2-2 \sqrt{3} x y+5 y^2=1, x, y \in R$ ，则 $x^2+y^2$ 的最小值为
31. 已知实数 $a , b , c$ 满足 $a ^2+ b ^2= c ^2, c \neq 0$ ，则 $\frac{b}{a-2 c}$ 的取值范围为