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导数的应用导数与三角函数

发布日期 2024/12/29 11:48:56      查看 0      加入组卷      查看作者     
单选题
函数 $f(x)=\sin 2 x-4 \cos x$ 的最大值为 ( )
$\text{A.}$ $\sqrt{9+6 \sqrt{3}}$ $\text{B.}$ $3 \sqrt{2}$ $\text{C.}$ $\sqrt{10+6 \sqrt{2}}$ $\text{D.}$ $\sqrt{6}+\sqrt{3}$
已知函数 $f(x)=x \sin x+\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$, 若对于任意的 $x_1, x_2 \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right),\left(x_1 \neq x_2\right)$, 均有 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| < a\left|e^{x_1}-e^{x_2}\right|$ 成立,则实数 $a$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$ $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ $\frac{3}{2}$ $\text{D.}$ 3
已知 $0 < x < y < \pi$ ，且 $e ^y \sin x= e ^x \sin y$ ，其中 e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）
$\text{A.}$ $\cos x+\cos y < 0$ $\text{B.}$ $\cos x+\cos y>0$ $\text{C.}$ $\cos x>\sin y$ $\text{D.}$ $\sin x>\sin y$
已知函数 $f(x)=\frac{1}{3} a x^3-x \sin x-2 \cos x(a \in R )$, 若 $f(x)$ 在 $R$ 上单调, 则 $a$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right] \cup\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ $\text{B.}$ $\left(-\infty,-\frac{2}{\pi}\right] U \left[\frac{2}{\pi},+\infty\right)$ $\text{C.}$ $(-\infty,-1] \cup[1,+\infty)$ $\text{D.}$ $\left(-\infty,-\frac{\pi}{2}\right] U \left[\frac{\pi}{2},+\infty\right)$
已知函数 $f(x)=e^x-a x-1$ 在区间 $(-1,1)$ 内存在极值点，且 $f(x) < 0$ 恰好有唯一整数解，则 $a$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $\left[\frac{e^2-1}{2 e^2}, e \right)$ $\text{B.}$ $\left[\frac{e^2-1}{2 e^2}, 1\right) \cup\left(e-1, \frac{e^2-1}{2}\right]$ $\text{C.}$ $(e-1, e)$ $\text{D.}$ $\left[\frac{e^2-1}{2 e^2}, \frac{e-1}{e}\right) U (e-1, e)$
已知实数 $x_1, x_2$ 满足 $e ^{x_1}=\frac{4}{x_1}, \ln x_2=\frac{2}{x_2^2}$, 则 $x_1 x_2^2=(\quad)$
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ 8
设 $k>0$ ，若存在正实数 $x$ ，使得不等式 $\log _{27} x-k \cdot 3^{k x-1} \geq 0$ 成立，则 $k$ 的最大值为（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{e \ln 3}$ $\text{B.}$ $\frac{\ln 3}{e}$ $\text{C.}$ $\frac{e}{\ln 3}$ $\text{D.}$ $\frac{\ln 3}{2}$
若 $x \in(0,1], m x-x \ln x \leq m$ 恒成立, 则实数 $m$ 的取值范围为（）
$\text{A.}$ $[1,+\infty)$ $\text{B.}$ $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ $\text{C.}$ $[2,+\infty)$ $\text{D.}$ $(-\infty, 1]$
当 $x>0$ 时，不等式 $x^2 e ^x \leq m x+2 \ln x+1$ 有解，则实数 $m$ 的范围为（）
$\text{A.}$ $[1,+\infty)$ $\text{B.}$ $\left[-\frac{1}{ e },+\infty\right)$ $\text{C.}$ $\left[\frac{2}{ e },+\infty\right)$ $\text{D.}$ $[2,+\infty)$
设函数的定义域为 $D$ ，若满足条件：存在 $[a, b] \subseteq D$ ，使 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $\left[\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right]$ ，则称 $f(x)$ 为"倍缩函数". 若函数 $f(x)=e^x+t$ 为"倍缩函数", 则实数 $t$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(-\infty,-\frac{1+\ln 2}{2}\right]$ $\text{B.}$ $\left(-\infty,-\frac{1+\ln 2}{2}\right)$ $\text{C.}$ $\left[\frac{1+\ln 2}{2},+\infty\right)$ $\text{D.}$ $\left(\frac{1+\ln 2}{2},+\infty\right)$
若 $e^{x_1}=\ln x_2$, 令 $t=x_2-x_1$, 则 $t$ 的最小值属于（）
$\text{A.}$ $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ $\text{B.}$ $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ $\text{C.}$ $\left(2, \frac{5}{2}\right)$ $\text{D.}$ $\left(\frac{5}{2}, 3\right)$
填空题
函数 $y=5 \sin \left(\frac{\pi}{5} x+\frac{\pi}{5}\right)(-15 \leq x \leq 10)$ 的图象与函数 $y=\frac{5(x+1)}{x^2+2 x+2}$ 图象的所有交点的横坐标之和为
已知函数 $f(x)=x+\ln (x-1), g(x)=x \ln x$, 若 $f\left(x_1\right)=1+2 \ln t, g\left(x_2\right)=t^2$, 则 $\left(x_1 x_2-x_2\right) \ln t$ 的最小值为
已知 $f(x)=x e^x+\frac{1}{e}+e^2, g(x)=-(x+1)^2+a \ln (x+1)$, 若存在 $x_1 \in R, x_2 \in(-1,+\infty)$, 使得 $f\left(x_1\right) \leq g\left(x_2\right)$ 成立,则实数 $a$ 的取值范围是

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