复旦大学《高等数学C上》2012期末考试试卷

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复旦大学《高等数学C上》2012期末考试试卷

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty

是

f (x)

在

x_{0}

的某空心邻域内无界的 ( ) 条件。

A.

充分

B.

必要

C.

充分必要

D.

无关

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lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 2

, 则

lim_{x \to 0} \frac{\sin 2 x}{f (3 x)} = () 。

A.

3 / 2

B.

2 / 3

C.

1 / 3

D.

4 / 3

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3. 设

A

为齐次线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + t x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + x_{2} + t x_{3} = 0 \end{cases}

的系数矩阵, 若有三阶方阵

B \neq 0

, 且

A B = 0

, 则

A.

t = - 2

, 且

| B | = 0

B.

t = - 2

, 且

| B | \neq 0

C.

t = 1

, 且

| B | = 0

D.

t = 1

, 且

| B | \neq 0

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4. 下列积分中可直接用 Newton-Leibniz 公式计算积分的是（）。

A.

\int_{0}^{6} \frac{x^{3}}{1 + x^{2}} d x

B.

\int_{- 1}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

C.

\int_{0}^{6} \frac{x}{{(x^{2} - 6)}^{2}} d x

D.

\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{1}{x \ln x} d x

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\forall x

, 有

f (- x) = - f (x)

, 且

f^{'} (- x_{0}) = - k \neq 0

, 则

f^{'} (x_{0}) = () 。

A.

1 / k

B.

- 1 / k

C.

- k

D.

k

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 设

\frac{\sin x}{x}

是

f (x)

的一个原函数, 则为

\int_{\frac{π}{2}}^{π} x f^{'} (x) d x =

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7. 设

lim_{x \to 0} \frac{\sin 6 x + x f (x)}{x^{3}} = 0

, 则

lim_{x \to 0} \frac{6 + f (x)}{x^{2}} =

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A = (\begin{array}{lllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{array})

, 则

{(A^{*})}^{- 1} =

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lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^{n} + 3^{n}} =

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10.

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{x - \cos x}{1 + \sin^{2} x} d x =

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11.

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (\sqrt{1 + t^{2}} - \sqrt{1 - t^{2}}) d t}{x^{2} \sin x}

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12.

\int \frac{\cos^{2} x - \sin x}{\cos x (1 + \cos x e^{\sin x})} d x

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13. 设

y = f (x)

由方程

x y^{2} + \sin x^{3} = y \cdot 3^{x}

确定, 求

d y

。

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14.

y = \arctan (3 e^{x})

, 求

\frac{d y}{d \sin x}

。

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15. 设

f (x) = {\begin{cases} 1, x < 0 \\ x + 1, 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x, x > 1 \end{cases}

, 求

\int f (x) d x

。

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16.

\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}} d x

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17.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{{(1 + x^{2})}^{2}}

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18.

A = (\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ - b & a & - d & c \\ - c & d & a & - b \\ - d & - c & b & a \end{array})

, 求

| A |

。

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四、证明题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

19. 设

f (x)

在

[0, 1]

区间上有一阶连续导数, 且

f (1) - f (0) = 1

, 证明:

\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x \geq 1

。

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20. 设

f^{'} (x)

在

[a, b]

上存在, 且

f^{'} (a) < f^{'} (b), r

为

f^{'} (a) 、 f^{'} (b)

之间的任意一个数值, 则在

(a, b)

内存在一点

ξ

, 使得

f^{'} (ξ) = r

。

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21. 设点

P

位椭圆

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1

上一点,

F_{1}, F_{2}

为椭圆的两个焦点, 求

| P F_{1} | \cdot | P F_{2} |

的最大值。

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22. 设

{\begin{cases} k x_{1} + x_{2} + x_{3} = 5 \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} + k x_{3} = 18 - 5 k \\ x_{2} + 2 x_{3} = 2 \end{cases}

, 问

k

取何值, 方程组无解, 有唯一解, 有无穷解? 在有无穷解时, 求出全部解

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