一、填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
1. 求 $u=x \sin (x+y)$ 的一阶及二阶偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ 。
2. 求椭球面 $4 x^2+y^2+z^2=1$ 在点 $\left(\frac{1}{2 \sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 处的切平面。
3. 求三重积分 $\iiint_V x y z d x d y d z$, 其中 $V$ 是由曲面 $x^2+y^2+z^2=$ 1 及 $x=0, y=0, z=0$ 所界区域。
4. 求幂级数 $\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n \frac{\ln n}{2^n} x^n$ 的收敛半径和收敛域。
5. 解微分方程 $x y^{\prime}-y=x^3$.
6. 将函数 $f(x)=1, x \in[0, \pi]$ 展开成正弦级数。
7. 计算 $\iint_{\Sigma}(x+y z) d y d z+(y+z x) d z d x+z d x d y$, 其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=1-\sqrt{1-x^2-y^2}(0 \leq z \leq 1)$ 的下侧。
8. 求 $\operatorname{grad} f(r)$, 其中 $f$ 为可微函数, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
二、解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
9. 已知函数 $Z=x^2-y^2+2$, 求 $Z$ 在椭圆域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^2+\frac{y^2}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值。
10. 设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq\right.$ $4, x \geq 0, y \geq 0\}$, 计算二重积分 $\iint_D \frac{x \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} d x d y$.
11. 求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+3) x^n$ 的收敛域及和函数。
12. 设
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{rl}
\frac{1+x^2}{x} \arctan x & x \neq 0 \\
1 & x=0
\end{array}\right.
$$
求 $f^{(n)}(0)$.
13. 设 $f(x)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上二阶连续可导, $z=f\left(e^x \cos y\right)$ 。
(1). 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$.
(2). 若 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=e^{2 x}\left(4 z+8 e^x \cos y\right)$, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$, 试求出 $f(u)$ 的表达式。
三、证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
14. 设数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $0 < a_n, b_n < $ $\frac{\pi}{2}(n=1,2, \ldots)$, 且 $\cos a_n-a_n=\cos b_n$, 由 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛, 证明
(1) $\quad a_n \rightarrow 0 \quad(n \rightarrow \infty)$,
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{b_n}$ 收敛。