山东青岛理工大学第一学期《高等数学》期末考试真题

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山东青岛理工大学第一学期《高等数学》期末考试真题

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 设对任意的

x

, 总有

φ (x) \leq f (x) \leq g (x)

, 且

lim_{x \to \infty} | g (x) - φ (x) | = 0

则

lim_{x \to \infty} f (x)

A.

存在且等于零

B.

存在但不等于零

C.

一定不存在

D.

不一定存在

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f (x)

在

x_{0}

点可导, 则

f (x)

在

x_{0}

点

A.

可能连续

B.

不连续

C.

连续

D.

以上都不对

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3. 若

f (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{e^{\frac{1}{x}} + 1}

, 则

x = 0

是

f (x)

的

A.

可去间断点

B.

连续点

C.

第二类间断点

D.

跳跃间断点

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f (x)

当

x \to x_{0}

时的右极限

f (x_{0}^{+})

和左极限

f (x_{0}^{-})

存在且相等是

lim_{x \to x_{0}} f (x)

存在的

条件

A.

必要

B.

充分

C.

充要

D.

充分不必要

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

5. 极限

lim_{x \to \infty} x^{2} \sin \frac{1}{x} =

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6. 已知

lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2}}{x + 1} - a x - b) = 0

, 其中

a, b

是常数, 则

a =

b =

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7. 若

f^{'} (x_{0})

存在, 则

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} - Δ x) - f (x_{0} + Δ x)}{Δ x} =

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y = \cos x

在

(\frac{π}{3}, \frac{1}{2})

的切线方程

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y = \tan f (x) + f (\tan x)

, 则

y^{'} =

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三、解答题（共 14 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

10.

lim_{x \to \infty} (x \sin \frac{3}{x} + \frac{\sin 2 x}{x})

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11.

lim_{x \to \infty} {(\frac{3 + x}{6 + x})}^{x - 1}

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12.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{n + \sqrt{n}})

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13. 求极限

lim_{x \to 1} \frac{1 + x + x^{2} - 3}{1 - x^{3}}

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14.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + \dots + \frac{n}{n^{2}})

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15.

lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{\sin^{3} x}

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16. 求导

y = \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}}

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17. 求导

y = \ln x \cdot (\arcsin x)^{2}

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18.

y^{x} = x^{y}, x > 0, y > 0

, 求

\frac{d y}{d x}

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19.

{\begin{matrix} x = \ln \sqrt{1 + t^{2}} \\ y = \arctan t \end{matrix}

确定

y (x)

求

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

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20. 求

a, b

使函数

f (x) = {\begin{array}{cc} x^{2} + 2 x + 3 & x \leq 0 \\ a x + b & x > 0 \end{array}

在

(- \infty, + \infty)

内连续可导

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21. 证明方程

x = a \sin x + b, a > 0, b > 0

至少有一个正根并且不超过

a + b

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22.

f (x) = x^{2} \sin 2 x

求

f^{(8)} (x)

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23. 设

x_{1} = \sqrt{2}, x_{n + 1} = \sqrt{2 + x_{n}}, n = 1, 2, \dots

, 试证明数列

{x_{n}}

的极限存在, 并求此极限

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