单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
偏导数 $f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right)$ 存在是函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续的 ( ) 条件.
$\text{A.}$ 充分
$\text{B.}$ 必要
$\text{C.}$ 充要
$\text{D.}$ 既非充分也非必要
设函数 $f(x, y)=1-x^2+y^2$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值.
$\text{B.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值.
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的驻点.
$\text{D.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点.
设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\}, I=\iint_D(x+y+1) d \sigma$, 则正确的是
$\text{A.}$ $1 \leq I \leq 8$
$\text{B.}$ $2 \leq I \leq 8$
$\text{C.}$ $1 \leq I \leq 4$
$\text{D.}$ $2 \leq I \leq 4$
$\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{\int_1 \frac{x \ln t}{1+t} d t}{(x-1)^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\infty$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ 1
下列方程中， ________ 是齐次方程。
$\text{A.}$ $\frac{d y}{y^2-2 x y}=\frac{d x}{x^2-x y+y^2}$
$\text{B.}$ $y^{\prime}=\frac{1}{x-y^2}$
$\text{C.}$ $(2 x-y+3) d y=(x-2 y+1) d x$
$\text{D.}$ $\frac{x}{2+y} d y=\frac{y}{2+x} d x$
下面 "结论" 中, 正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 发散
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 都收敛
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛, $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 的收敛性不确定
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$y o z$ 面上的抛物线 $z^2=2 y$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转曲面的方程为
设函数 $z=\arctan (x y)$, 则 $d z=$
交换积分次序 $\int_0^1 d y \int_{\sqrt{1-y}}^{e^y} f(x, y) d x=$
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n+a}{n}$ 收敛, 则 $a$ 的取值为
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x d x, N=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) d x, P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) d x$,则 M、N、P 的大小关系为
一阶微分方程 $\left(x^2+1\right) y^{\prime}+2 x y=4 x^2$ 的通解为 $y=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=\ln \left(x y+\frac{x}{y}\right)$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \cos x d x$.
计算二重积分 $\iint_D e^{x^2+y^2} d \sigma$, 其中 $D$ 是由圆周 $x^2+y^2=4$ 所围成的闭区域.
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^n$ 的敛散性.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0$ 的通解.
对任意常数 $a$, 证明 $\int_0^a f(x) d x=\int_0^a f(a-x) d x$.
已知 $x-m z=\varphi(y-n z)$, 求证 $m \frac{\partial z}{\partial x}+n \frac{\partial z}{\partial y}=1$.
某工厂生产 $A, B$ 两种型号的产品, $A$ 型产品的售价为 1000 元/件, $B$ 型产品的售价为 900元/件, 生产 $x$ 件 $A$ 型产品和 $y$ 件 $B$ 型产品的总成本为 $40000+200 x+300 y+3 x^2+x y+3 y^2$ 元.求 $A, B$ 两种产品各生产多少时, 利润最大?