陕西省榆林学院 2019—2020学年《高等数学》第二学期期末试（管理系）

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陕西省榆林学院 2019—2020学年《高等数学》第二学期期末试（管理系）

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 偏导数

f_{x} (x_{0}, y_{0}), f_{y} (x_{0}, y_{0})

存在是函数

z = f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

连续的 ( ) 条件.

A.

充分

B.

必要

C.

充要

D.

既非充分也非必要

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2. 设函数

f (x, y) = 1 - x^{2} + y^{2}

, 则下列结论正确的是

A.

点

(0, 0)

是

f (x, y)

的极小值.

B.

点

(0, 0)

是

f (x, y)

的极大值.

C.

点

(0, 0)

不是

f (x, y)

的驻点.

D.

点

(0, 0)

不是

f (x, y)

的极值点.

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3. 设

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2}, I = \iint_{D} (x + y + 1) d σ

, 则正确的是

A.

1 \leq I \leq 8

B.

2 \leq I \leq 8

C.

1 \leq I \leq 4

D.

2 \leq I \leq 4

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lim_{x \to 1} \frac{\int_{1} \frac{x \ln t}{1 + t} d t}{(x - 1)^{2}} = ()

A.

B.

\infty

C.

\frac{1}{4}

D.

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5. 下列方程中， ________ 是齐次方程。

A.

\frac{d y}{y^{2} - 2 x y} = \frac{d x}{x^{2} - x y + y^{2}}

B.

y^{'} = \frac{1}{x - y^{2}}

C.

(2 x - y + 3) d y = (x - 2 y + 1) d x

D.

\frac{x}{2 + y} d y = \frac{y}{2 + x} d x

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6. 下面 "结论" 中, 正确的是

A.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}

都发散, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

发散

B.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}

都收敛

C.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

与

\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}

都收敛, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

都收敛

D.

若

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛,

\sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}

发散, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + v_{n})

的收敛性不确定

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

y o z

面上的抛物线

z^{2} = 2 y

绕

y

轴旋转而成的旋转曲面的方程为

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8. 设函数

z = \arctan (x y)

, 则

d z =

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9. 交换积分次序

\int_{0}^{1} d y \int_{\sqrt{1 - y}}^{e^{y}} f (x, y) d x =

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10. 若级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} + a}{n}

收敛, 则

a

的取值为

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11. 设

M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} \cos^{4} x d x, N = \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\sin^{3} x + \cos^{4} x) d x, P = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x^{2} \sin^{3} x - \cos^{4} x) d x

,则 M、N、P 的大小关系为

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12. 一阶微分方程

(x^{2} + 1) y^{'} + 2 x y = 4 x^{2}

的通解为

y =

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

13. 设

z = \ln (x y + \frac{x}{y})

, 求

\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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14. 计算

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x \cos x d x

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15. 计算二重积分

\iint_{D} e^{x^{2} + y^{2}} d σ

, 其中

D

是由圆周

x^{2} + y^{2} = 4

所围成的闭区域.

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16. 判断级数

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{n}{2 n + 1})}^{n}

的敛散性.

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17. 求微分方程

y^{''} + y^{'} + y = 0

的通解.

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18. 对任意常数

a

, 证明

\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} f (a - x) d x

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19. 已知

x - m z = φ (y - n z)

, 求证

m \frac{\partial z}{\partial x} + n \frac{\partial z}{\partial y} = 1

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20. 某工厂生产

A, B

两种型号的产品,

A

型产品的售价为 1000 元/件,

B

型产品的售价为 900元/件, 生产

x

件

A

型产品和

y

件

B

型产品的总成本为

40000 + 200 x + 300 y + 3 x^{2} + x y + 3 y^{2}

元.求

A, B

两种产品各生产多少时, 利润最大?

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