单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数中能够作为分布函数的是
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}0, & x < -1, \\ \frac{1}{3}, & -1 \leqslant x \leqslant 2, \\ 1, & x>2 .\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ \frac{\ln (1+x)}{1+x}, & x \geqslant 0 .\end{cases}$
$\text{C.}$ $F(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ \frac{x+2}{5}, & 0 \leqslant x < 2, \\ 1, & x \geqslant 2 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ \sin x, & 0 \leqslant x < \pi, \\ 1, & x \geqslant \pi .\end{cases}$
设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 分别为随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的分布函数. 为使 $F(x)=a F_1(x)-$ $b F_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取
$\text{A.}$ $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{2}{5}$.
$\text{B.}$ $a=\frac{2}{3}, b=\frac{2}{3}$.
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=\frac{3}{2}$.
$\text{D.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$.
设 $X$ 是离散型随机变量, 其分布律为 $P(X=k)=b \lambda^k(k=1,2, \cdots)$ 且 $b>0$ 为常数, 则 $\lambda$ 为
$\text{A.}$ $\lambda>0$ 的任意实数.
$\text{B.}$ $\lambda=b+1$.
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{1}{b+1}$.
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{1}{b-1}$.
某电子元件的寿命 $X$ (单位: 小时) 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases}\frac{1000}{x^2}, x > 1000, & \\ 0 , x \le 1000, & \end{cases}$系统上装有这种电子元件 5 个,则在开始使用 1500 小时内正好有 2个原件需要更换的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{40}{243}$.
$\text{C.}$ $\frac{80}{243}$.
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$.
设 $F_1(x), F_2(x)$ 为两个分布函数, 其相应的概率密度 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 是连续函数, 则必为概率密度的是
$\text{A.}$ $f_1(x) f_2(x)$.
$\text{B.}$ $2 f_2(x) F_1(x)$.
$\text{C.}$ $f_1(x) F_2(x)$.
$\text{D.}$ $f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x)$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c^{-1} x e ^{-\frac{x^2}{2 c}}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 是随机变量的概率密度, 则 $c$ 应取
$\text{A.}$ 任何实数.
$\text{B.}$ 任何正实数.
$\text{C.}$ $c \neq 1$.
$\text{D.}$ $c \neq 0$.
设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$, 且 $\int_0^2 f(x) d x=0.6$,则 $P\{X < 0\}=$
$\text{A.}$ 0.2 .
$\text{B.}$ 0.3 .
$\text{C.}$ 0.4 .
$\text{D.}$ 0.5 .
假设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$, 概率密度函数 $f(x)=a f_1(x)+b f_2(x)$,其中 $f_1(x)$ 是正态分布 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的密度函数, $f_2(x)$ 是参数为 $\lambda$ 的指数分布的密度函数, 已知 $F(0)=\frac{1}{8}$, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=0$.
$\text{B.}$ $a=\frac{3}{4}, b=\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $a=\frac{1}{4}, b=\frac{3}{4}$.
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),(\sigma>0)$, 记 $p=P\left\{X \leqslant \mu+\sigma^2\right\}$, 则
$\text{A.}$ $p$ 随着 $\mu$ 的增加而增加。
$\text{B.}$ $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而增加.
$\text{C.}$ $p$ 随着 $\mu$ 的增加而减少.
$\text{D.}$ $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而减少，
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$, 对给定的 $\alpha(0 < \alpha < 1)$, 数 $u_a$ 满足 $P\left\{X>u_a\right\}=\alpha$, 若 $P\{|X| < x\}=\alpha$, 则 $x$ 等于
$\text{A.}$ $u_{\frac{a}{2}}$.
$\text{B.}$ $u_{1-\frac{\alpha}{2}}$.
$\text{C.}$ $u \frac{1-\alpha}{2}$.
$\text{D.}$ $u_{1-\alpha}$.
设随机变量 $X$ 服从指数分布, 则随机变量 $Y=\min \{X, 2\}$ 的分布函数
$\text{A.}$ 是连续函数.
$\text{B.}$ 至少有两个间断点.
$\text{C.}$ 是阶梯函数.
$\text{D.}$ 恰好有一个间断点.
设随机变量 $X \sim N(0,1)$, 其分布函数为 $\Phi(x)$, 则随机变量 $Y=\min \{X, 0\}$ 的分布函数 $F(y)$ 为
$\text{A.}$ $F(y)= \begin{cases}1, & y>0, \\ \Phi(y), & y \leqslant 0 .\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(y)= \begin{cases}1, & y \geqslant 0, \\ \Phi(y), & y < 0 .\end{cases}$
$\text{C.}$ $F(y)= \begin{cases}0, & y \leqslant 0, \\ \Phi(y), & y>0 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(y)= \begin{cases}0, & y < 0, \\ \Phi(y), & y \geqslant 0 .\end{cases}$