已知函数 $g(x)=2 \ln (-x-1)+\cos (-x-2)$.
(1) 函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图像关于 $x=-1$ 对称, 求 $f(x)$ 的解析式;
(2) $f(x)-1 \leq a x$ 在定义域内恒成立, 求 $a$ 的值;
(3) 求证: $\sum_{k=n+1}^{2 n} f\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{2}\right) < \ln 4, n \in \mathbf{N}^*$.

设集合 $S=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}(n \geq 3)$, 其中 $a_i \in \mathbf{N}^*, i=1,2, \cdots, n$.若集合 $S$ 的任意两个不同的非空子集 $A 、 B$, 都满足集合 $A$ 的所有元素之和与集合 $B$ 的元素之和不相等, 则称集合 $S$ 具有性质 $P$.
(1) 试分别判断在集合 $S_1=\{1,2,3,4\}$ 与 $S_2=\{1,2,4,8\}$ 是否具有性质 $P$, 不必说明理由:
(2) 已知集合 $S=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$ 具有性质 $P$.
(1) 记 $\sum_{i=1}^k a_i=a_1+a_2+\cdots+a_k$, 求证: 对于任意正整数 $k \leq n$, 都有 $\sum_{i=1}^k a_i \geq 2^k-1$;
(2) 令 $d_i=a_i-2^{i-1}, D_k=\sum_{i=1}^k d_i$, 求证: $D_k \geqslant 0$;
(3) 在 (2) 的条件下, 求 $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}$ 的最大值.