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已知函数 $g(x)=2 \ln (-x-1)+\cos (-x-2)$.
(1) 函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图像关于 $x=-1$ 对称, 求 $f(x)$ 的解析式;
(2) $f(x)-1 \leq a x$ 在定义域内恒成立, 求 $a$ 的值;
(3) 求证: $\sum_{k=n+1}^{2 n} f\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{2}\right) < \ln 4, n \in \mathbf{N}^*$.
                        
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