解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2+y^2}{|x|+|y|}$ ；
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{x}}{1+x^2} d x$ ；
设 $z=\int_0^{\frac{y}{x}} \sin \left(t^2\right) d t$ ，计算 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
设平面曲线 $y=y(x)$ 满足 $y(0)=1, ~ y^{\prime}(0)=0$ ，且对曲线上任意点 $P(x, y)$（ $x>0)$ ，沿曲线从点 $(0,1)$ 到点 $P(x, y)$ 的弧长等于该曲线在点 $P(x, y)$ 的切线斜率，求 $y(x)$ （ $x>0$ ）