单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x)=\left( e ^x-1\right)\left( e ^{2 x}-2\right) \cdots\left( e ^{n x}-n\right)$ ，则 $f^{\prime}(0)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $n$ ！
$\text{B.}$ $(n-1)$ ！
$\text{C.}$ $-n$ ！
$\text{D.}$ $-(n-1)$ ！
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e ^y+x y= e$ 所确定，则 $y^{\prime \prime}(0)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{ e ^2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{ e ^2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{ e }$
$\text{D.}$ $\frac{2}{ e ^2}$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=t \sin t+\cos t,\end{array}\right.$ 参数为 $t$ ，则 $\left.\frac{ d y}{d x}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\pi$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}, & x>0, \\ x^2 g(x), & x \leq 0 .\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（ ）
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
利用泰勒公式，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x$ 的等价无穷小为（ ）。
$\text{A.}$ $5 x^2$
$\text{B.}$ $7 x^2$
$\text{C.}$ $-5 x^2$
$\text{D.}$ $-7 x^2$
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，下列结论成立的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
设函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x$ 且 $f^{\prime}(0)=0$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极小值，点 $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x < 1 \\ \ln x, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 的一个原函数是（ ）
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1), & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{C.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, & x \geqslant 1,\end{cases}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$f(0)=0$ ，则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^3\right)-2 x^2 f(x)}{\ln \left(1+x^3\right)}=$
设曲线 $y=f(x)$ 和 $y=x^2-x$ 在点 $(1,0)$ 处有公共的切线，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{n}{n+2}\right)=$
已知函数 $f(x)=\frac{1}{3 x-4}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设曲线 $y=a x^2$ 与 $y=\ln x$ 相切，求 $a$ 的值及其公共切线．
已知 $f(x)=x(x-1)(x-2) \cdots(x-n)$ ，求 $f^{(n)}(x)$ ．
已知函数 $y=\frac{x^3}{(x-1)^2}$ ，求：
（1）函数的单调区间及极值；
（2）函数图形的凹凸区间及拐点；
（3）函数图形的渐近线．
$\int \frac{\arctan x}{1+x^2} d x$
$\int x^2 \sqrt{x^3-a^2} d x$
不定积分 $\int \frac{ e ^{3 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x=$