解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
将 $f(x)=\sin x, x \in[0, \pi]$ 展开成余弦级数.
$\lim _{n \rightarrow+\infty} n\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n^2}\right)$
$I=\int e^x \cos ^2 x d x$
设 $a>0, b>0$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a^n+b^n\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
用单调有界数列的收敛定理，证明 $\left\{\frac{n^5}{2^n}\right\}$ 收敛，并求其极限．
已知 $n \in N$ ，求不定积分 $I_n=\int \tan ^n x d x$ 的递推公式．
已知 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{\pi}{2}$ ，证明： $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2 x}{x^2} d x$ 是否收敛，若收敛则证明，求其值．
判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^2 n}{n^2}$ 敛散性．
证明 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=0$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-x^{\sin x}}{x^2}$ ．
求级数的和 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1) \cdot 3^n}$ ．