一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
如果 $[1,0,1]^T,[1,2,3]^T$ 是非齐次线性方程组的两个解, 则下面哪个也 是方程组的解?
$\text{A.}$ $[2,2,4]^T$
$\text{B.}$ $[0,2,2]^T$
$\text{C.}$ $[1,-2,-1]^T$
$\text{D.}$ $[2,0,2]^T$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵,则下列结论错误的是
$\text{A.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}^m \sim \boldsymbol{B}^m$
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则 $\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} \sim \lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}$
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ 且 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 可逆, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{A}^* \sim \boldsymbol{B}^{-1}+\boldsymbol{B}^*$
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \sim \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关解, $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的特解,下列选项中可作为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的通解的是
$\text{A.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{B.}$ $k_1\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{C.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1}{2}$
$\text{D.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2}{2}$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶正定矩阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶反对称矩阵, 则对 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}^2$ 的以下判断: (1)为对称矩阵; (2) 为反对称矩阵; (3) 为正定矩阵; (4)为可逆矩阵, 正确的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1+x_2+x_3+x_4=1 \\ x_2-x_3+2 x_4=1 \\ 2 x_1+3 x_2+(a+2) x_3+4 x_4=b \\ 3 x_1+5 x_2+x_3+(a+8) x_4=5\end{array}\right.$ 无解的充要条件是
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 分别属于特征值 0,2 的特征向量, 则方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_2$ 的通解为
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & a & 2\end{array}\right)$ 且 $\boldsymbol{A}$ 不可相似对角化, 则 $a=$
设 3 阶对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第一行元素为 $1,2,3$, 第一行元素的代数余子式为 $0,1,-1$, 则方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 的解为
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+2 x_3^2+4 t x_1 x_2+2 t x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 是正定的, 则 $t$ 的取值为
三、解答题 （ 共 8 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right] $ 求 $ \mathbf{A}^k $
已知 $ \boldsymbol{\alpha}=(1,2,3) ， \boldsymbol{\beta}=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$ 设 $ \mathbf{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ，则 $ \mathbf{A}^n=$
设 $\alpha$ 为三维列向量，若 $\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=$
设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right], \mathbf{B}=\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}$ ，其中 $\mathbf{P}$ 为三阶可逆矩阵，则 $B^{2004}-2 A^2=$
设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 7\end{array}\right]$. $\mathbf{E}$ 为四阶单位矩阵，且 $\mathbf{B}=(\mathbf{E}+\mathbf{A})^{-1}(\mathbf{E}-\mathbf{A})$ ，则 $(\mathbf{E}+\mathbf{B})^{-1}=$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为两两正交的单位向量, 又 $\boldsymbol{\beta} \neq \mathbf{0}$ 且 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关,令 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_2^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_3^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$.
(I) 证明: $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 唯一线性表示;
(II) 验证 $\boldsymbol{\beta}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量, 并求相应的特征值.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -1 & a & b \\ 2 & c & -2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & d_1 & 1 \\ d_2 & d_3 & d_4\end{array}\right)$ 且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$.
(I) 求常数 $a, b, c$;
(II) 判断 $\boldsymbol{A}$ 是否可相似对角化, 若 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化,则求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵, 反之说明理由.
已知三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的三个特征值之和为 $1,|\boldsymbol{A}|=-12$; 且方程 $\left(\boldsymbol{A}^*-4 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有一个解向量 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,-2)^{\mathrm{T}}$.
(I) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$;
(II) 求方程 $\left(\boldsymbol{A}^*+6 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解.