单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
如果 $[1,0,1]^T,[1,2,3]^T$ 是非齐次线性方程组的两个解, 则下面哪个也 是方程组的解?
$\text{A.}$ $[2,2,4]^T$
$\text{B.}$ $[0,2,2]^T$
$\text{C.}$ $[1,-2,-1]^T$
$\text{D.}$ $[2,0,2]^T$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵,则下列结论错误的是
$\text{A.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}^m \sim \boldsymbol{B}^m$
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则 $\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} \sim \lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}$
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ 且 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 可逆, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{A}^* \sim \boldsymbol{B}^{-1}+\boldsymbol{B}^*$
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \sim \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关解, $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的特解,下列选项中可作为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的通解的是
$\text{A.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{B.}$ $k_1\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{C.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1}{2}$
$\text{D.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2}{2}$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶正定矩阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶反对称矩阵, 则对 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}^2$ 的以下判断: (1)为对称矩阵; (2) 为反对称矩阵; (3) 为正定矩阵; (4)为可逆矩阵, 正确的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1+x_2+x_3+x_4=1 \\ x_2-x_3+2 x_4=1 \\ 2 x_1+3 x_2+(a+2) x_3+4 x_4=b \\ 3 x_1+5 x_2+x_3+(a+8) x_4=5\end{array}\right.$ 无解的充要条件是
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 分别属于特征值 0,2 的特征向量, 则方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_2$ 的通解为