单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设$X_1$,$X_2$为来自总体$(\mu,\sigma^2)$的简单随机样本,其中$\sigma(\sigma>0)$是未知参数,若$\hat{\sigma}=a|X_{1}-X_{2}|$为$\sigma$的无偏估计,则$a=$
$\text{A.}$ $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$
$\text{B.}$ $\dfrac{\sqrt{2\pi}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{\pi}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2\pi}$
设 $X_1, X_2, X_3$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 则下列统计量中, ( ) 为 $\mu$ 的无偏估计且方差最小.
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} X_1+\frac{1}{3} X_2+\frac{1}{6} X_3$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3} X_1+\frac{1}{3} X_2+\frac{1}{3} X_3$
$\text{C.}$ $\frac{1}{5} X_1+\frac{2}{5} X_2+\frac{2}{5} X_3$
$\text{D.}$ $\frac{1}{7} X_1+\frac{2}{7} X_2+\frac{3}{7} X_3$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 已知 $k \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计量, 则 $k=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{n}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 n}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2(n-1)}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n-1}$
设总体 $X$ 的分布律为 $P\left\{X=(-1)^n n+p\right\}=\frac{1}{n(n+1)}, n=1,2, \cdots$, 其中 $p$ 为未知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 则 $p$ 的矩估计量 $\hat{p}=$
$\text{A.}$ $\bar{X}-\ln 2$.
$\text{B.}$ $\bar{X}+\ln 2$.
$\text{C.}$ $\bar{X}-\ln 2+1$.
$\text{D.}$ $\bar{X}+\ln 2-1$.
设总体 $X$ 在 $[\theta, \theta+1]$ 上服从均匀分布, $\theta$ 未知, $\left(X_1, X_2, \cdots X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 则下列统计量不可作为 $\theta$ 的最大似然估计量的是
$\text{A.}$ $\min \left\{\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \cdots \boldsymbol{X}_n\right\}$
$\text{B.}$ $\max \left\{X_1, X_2, \cdots X_n\right\}-1$
$\text{C.}$ $\frac{\max \left\{X_1, X_2, \cdots X_n\right\}+\min \left\{X_1, X_2, \cdots X_n\right\}-1}{2}$
$\text{D.}$ $\max \left\{X_1, X_2, \cdots X_n\right\}-2$
设总体 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=\frac{1-\theta}{2}, P\{X=2\}=P\{X=3\}=\frac{1+\theta}{4}$. 利用来自总体 $X$ 的样本值 $1,3,2,2,1,3,1,2$, 可得 $\theta$ 的最大似然估计值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{8}$
一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\mu, \sigma^2$ 均未知. 现从中随机抽取 16 个零件, 测得样本均值 $\bar{x}=20 \mathrm{~cm}$, 样本标准差 $s=1 \mathrm{~cm}$, 则 $\mu$ 的置信水平为 0.90 的置信区间为
$\text{A.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(16)\right)$
$\text{B.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(16)\right)$
$\text{C.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(15)\right)$
$\text{D.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(15)\right)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, $X$ 的分布律为
$$
\begin{array}{c|ccc}
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline P & \theta & 1-2 \theta & \theta
\end{array}\left(0 < \theta < \frac{1}{2}\right),
$$
则未知参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$ 为
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^n X_i$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^n X_i^2$.
已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$, 方差 $D X=\sigma^2, X_1, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值为 $\bar{X}$ ，则可以作出 $\sigma^2$ 的无偏估计量
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i^2$.
假设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, $X_1, \cdots X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本, 其均值为 $\bar{X}$, 方差为 $S^2$ 。已知 $\hat{\lambda}=a \bar{X}+(2-3 a) S^2$ 为 $\lambda$ 的无偏估计, 则 $a$ 等于
$\text{A.}$ -1 .
$\text{B.}$ 0 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1 .
设 $X_1, \cdots X_n$ 是来自 $X \sim P(\lambda)$ 的简单随机样本, 则可以构造参数 $\lambda^2$ 无偏估计量
$\text{A.}$ $T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\left(X_i-1\right)$ 。
$\text{B.}$ $T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$.
$\text{C.}$ $T=\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)^2$.
$\text{D.}$ $T=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i\left(X_i-1\right)$ 。
设 $X$ 为非负连续型随机变量, 其 $k(k=1,2, \cdots)$ 阶矩存在概率密度记为 $f(x)$, 分布函数记为 $F(x)$,则 $\int_0^{+\infty}[1-F(x)] d x=$
$\text{A.}$ $E X$.
$\text{B.}$ $E\left(X^2\right)$.
$\text{C.}$ $D X$.
$\text{D.}$ 1.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本, $\mu$ 是未知参数, $X$ 是样本均值，则下列各式是统计量的为（）。
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$
$\text{B.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{C.}$ $\bar{X}-\mu$
$\text{D.}$ $(\bar{X}-\mu)^2+\sigma^2$
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的一个简单随机样本, 则参数 $\lambda$ 的矩估计量为 ( )。
$\text{A.}$ $\frac{1}{2 \bar{X}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{\bar{X}}$
$\text{C.}$ $\bar{X}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \bar{X}$
设 $X_1, X_2, X_3$ 为总体 $X$ 一个样本, 则总体均值的 4 个无偏差估计: $\hat{\mu}=X_1, \hat{\mu}_2=\left(X_1+X_2\right) / 2$, $\hat{\mu}_3=\left(X_1+X_2+X_3\right) / 3, \hat{\mu}_4=0.7 X_2+0.3 X_3$ 中最有效的估计是
$\text{A.}$ $\hat{\mu}_1$
$\text{B.}$ $\hat{\mu}_2$
$\text{C.}$ $\hat{\mu}_3$
$\text{D.}$ $\hat{\mu}_4$
设 $\theta$ 是总体 $X$ 的参数, $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$ 为 $\theta$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的随机区间, 则
$\text{A.}$ $\theta$ 以 $1-\alpha$ 的概率落入 $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$
$\text{B.}$ $\theta$ 以 $\alpha$ 的概率落在 $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$ 之外
$\text{C.}$ $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$ 以概率 $1-\alpha$ 包含 $\theta$
$\text{D.}$ $(\underline{\theta}, \bar{\theta})$ 以概率 $\alpha$ 包含 $\theta$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)\left(\sigma^2\right.$ 已知），则在给定样本容量 $n$ 及置信度 $1-\alpha$ 的情况下，未知参数 $\mu$ 的置信区间长度随着样本均值 $\bar{X}$ 的增加而（ ）。
$\text{A.}$ 增加
$\text{B.}$ 减少
$\text{C.}$ 不变
$\text{D.}$ 不能确定增或减
设总体 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), \bar{X}, \bar{Y}$ 是分别来自总体 $X, Y$ ，容量都为 $n$的样本的样本均值，则当 $n$ 固定时，概率 $P\{|\bar{X}-\bar{Y}|>\sigma\}$ 的值随 $\sigma$ 的增大而（）．
$\text{A.}$ 单调增大
$\text{B.}$ 单调减小
$\text{C.}$ 保持不变
$\text{D.}$ 增减不定
已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2, X_1, \cdots, X_n$ 为其简单样本，均值为 $\bar{X}$ ，方差为 $S^2$ ．则 $\sigma^2$ 的无偏估计量为 $\qquad$ ．
$\text{A.}$ $n \bar{X}^2+S^2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} n \bar{X}^2+\frac{1}{2} S^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3} n \bar{X}^2+S^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4} n \bar{X}^2+\frac{1}{4} S^2$
设一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu, \sigma^2$ 均末知，现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 $\bar{x}=20(cm)$ ，样本标准差 $s=1(cm)$ 。则 $\mu$ 的置信度为 0.90 的置信区间是（）。
$\text{A.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(16), \quad 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(16)\right)$
$\text{B.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(16), \quad 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(16)\right)$
$\text{C.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(15), \quad 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(15)\right)$
$\text{D.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}\right.$（15）， $20+\frac{1}{4} t_{0.1}$（15））