单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 n 阶方阵 $A$ 不可逆，则必有
$\text{A.}$ 秩 $( A ) < n$
$\text{B.}$ 秩 $( A )=n-1$
$\text{C.}$ $A=0$
$\text{D.}$ 方程组 $A x =0$ 只有零解
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆方阵, $k$ 为非零常数,则有 ( ).
$\text{A.}$ $(k A )^{-1}=k A ^{-1}$
$\text{B.}$ $(k A )^{ T }=k A ^{ T }$
$\text{C.}$ $|k A |=k| A |$
$\text{D.}$ $(k A )^*=k A ^*$
设 $D=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|, A_{i j}$ 为 $D$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式，则 $A_{31}+2 A_{32}+3 A_{33}=$
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{llc}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & -2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
三元一次方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+a x_3=4 \\
x_1-x_2+2 x_3=-4 \\
-x_1+a x_2+x_3=a^2
\end{array}\right.
$$
所代表的三平面不可能的位置关系为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 2 & 6\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right)$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}b & b & a \\ b & a & b \\ a & b & b\end{array}\right) ， C=\left(\begin{array}{lll}b & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， A ， B ， C$ 均可逆，则（）
$\text{A.}$ $A, B$ 不相似但合同.
$\text{B.}$ $B ， C$ 既相似又合同.
$\text{C.}$ $A, C$ 不相似但合同.
$\text{D.}$ $B, C$ 不相似但合同.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2+2 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 的正负惯性指数分别为 1,2 , 则
$\text{A.}$ $a>1$.
$\text{B.}$ $a < -2$.
$\text{C.}$ $-2 < a < 1$.
$\text{D.}$ $a=1$ 或 $a=-2$.
设 $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 是 $A x = 0$ 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成（ ）．
$\text{A.}$ $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 的一个等价向量组
$\text{B.}$ $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 的一个等秩向量组
$\text{C.}$ $\xi _1+ \xi _2, \xi _2+ \xi _3, \xi _3+ \xi _1$
$\text{D.}$ $\xi _1- \xi _2, \xi _2- \xi _3, \xi _3- \xi _1$
设 $n(n \geqslant 3)$ 阶矩阵
$$
A =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & a & a & \cdots & a \\
a & 1 & a & \cdots & a \\
a & a & 1 & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a & a & a & \cdots & 1
\end{array}\right),
$$
若矩阵 $A$ 的秩为 $n-1$, 则 $a$ 必为
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ $\frac{1}{1-n}$.
$\text{C.}$ -1 .
$\text{D.}$ $\frac{1}{n-1}$.
已知 3 阶矩阵 $A$ 与对角阵相似, 相似变换矩阵为 $P$, 且 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), P$ 按列分块为 $P=\left(p_1, p_2, p_3\right)$, 设 $Q=\left(2 p_3, p_1, p_1+p_2\right)$, 则 $Q^{-1} A Q=$.
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$;
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$;
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$;
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $5 \times 4$ 矩阵, $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 , 则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系中含有解的个数为
已知 $A, B, C, D, H$ 为 $n$ 阶实矩阵，$I$ 是同阶单位矩阵，且 $A B C D H=I$ ，则 $C^{-1}=$
设 4 阶方阵 $A$ 满足：$|A| < 0,|3 E+A|=0, A A^T=2 E$（其中 $E$ 是单位矩阵），则 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 必有一个特征值为
设实二次型 $f \left( x _1, x _2, x _3, x _4, x _5\right)$ 的秩为 4 ，正惯性指数为 3 ，则其规范形为
行列式 $I=\left|\begin{array}{cccc}
a^2 & (a+1)^2 & (a+2)^2 & (a+3)^2 \\
b^2 & (b+1)^2 & (b+2)^2 & (b+3)^2 \\
c^2 & (c+1)^2 & (c+2)^2 & (c+3)^2 \\
d^2 & (d+1)^2 & (d+2)^2 & (d+3)^2
\end{array}\right|$ =
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算$D=\left|\begin{array}{cccc}
2 & 2 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 4 & 9 & 16 \\
1 & 8 & 27 & 64
\end{array}\right| .$
$A=\left(a_1 a_2 \cdots a_n\right), B=\left(b_1 b_2 \cdots b_n\right)$ ，
求 $(1) A B^{ T }, A^{ T } B$ ；（2）令 $C=A^{ T } B$ ，求 $C^k$ ．
求方程$\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=1 \\
2 x_1+3 x_2+4 x_3+5 x_4=1 \\
4 x_1+9 x_2+16 x_3+25 x_4=1 \\
8 x_1+27 x_2+64 x_3+125 x_4=1
\end{array}\right.$
设 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right], \quad \alpha_3=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right], \quad \beta=\left[\begin{array}{c}0 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right]$ ，问 $\lambda$ 取何值时，
(1) $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式唯一?
(2) $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式不唯一?
(3) $\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示?
给定向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-1,0,4), \boldsymbol{\alpha}_2=(2,1,5,6), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,-2,0), \boldsymbol{\alpha}_4=(3,0,7, k)$.
(1)当 $k$ 为何值时, 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性相关?
(2)当向量组线性相关时, 求出最大无关组, 并用最大无关组线性表示向量组中其它向量. (10 分)
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$.
(1) 求可逆矩阵 $P$ 使 $P ^{-1} A P =\Lambda$;
(2) 求正交矩阵 $Q$ 使 $Q ^{ T } A Q =\Lambda$.
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ 满足 $A+B=A B$ ，
（1）证明 $E-B$ 可逆（ $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵）；（2）若 $A=\left(\begin{array}{lll}3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $B$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称阵, $\boldsymbol{\xi}_1=(a,-2,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, $\boldsymbol{\xi}_2=(a, a,-3)^{\mathrm{T}}$是 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, 且 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 是正定矩阵.
(I) 求参数 $a$;
(II) 求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$, 将二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 化为标准形;
(III) 当 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=2$ 时, 求 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 的最大值.