单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^2+y^2+z^2=\int_x^y f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定的二元隐函数, 其中 $f$ 是连续函数, 则 $2 z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$
$\text{A.}$ $f(x)-f(y)+2(x-y)$.
$\text{B.}$ $f(y)-f(x)-2(x+y)$.
$\text{C.}$ $f(x)-f(y)+2(x+y)$.
$\text{D.}$ $f(y)-f(x)-2(x-y)$.
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=2$, 若函数 $z=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+$ $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$, 则 $f(\sqrt{2})=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2} \ln 2$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \ln 2$.
$\text{C.}$ $-\ln 2$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1- e ^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_0^{2 x} f\left(\frac{t}{2}\right) d t+\ln 2$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $e ^x \ln 2$.
$\text{B.}$ $e ^{2 x} \ln 2$.
$\text{C.}$ $e ^x+\ln 2$.
$\text{D.}$ $e ^{2 x}+\ln 2$.
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 36
$\text{D.}$ $\infty$
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 等于
$\text{A.}$ $f^{\prime}(a)$.
$\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$.
$\text{C.}$ 0 .
$\text{D.}$ $f^{\prime}(2 a)$.
设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, 周期为 4. 又 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1)-f(1-x)}{2 x}=-1$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(5, f(5))$ 处的切线的斜率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ 0 .
$\text{C.}$ $-1$.
$\text{D.}$ $-2$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1+\frac{2}{n}\right)^2 \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^2}$ 等于
$\text{A.}$ $\int_1^2 \ln ^2 x d x$.
$\text{B.}$ $2 \int_1^2 \ln x d x$.
$\text{C.}$ $2 \int_1^2 \ln (1+x) d x$.
$\text{D.}$ $\int_1^2 \ln ^2(1+x) d x$.
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} d x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{ e ^x} d x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) d x$, 则
$\text{A.}$ $M>N>K$.
$\text{B.}$ $M>K>N$.
$\text{C.}$ $K>M>N$.
$\text{D.}$ $K>N>M$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x < \pi, \\ 2, & \pi \leqslant x \leqslant 2 \pi\end{array} F(x)=\int_0^x f(t) d t\right.$, 则
$\text{A.}$ $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的跳跃间断点.
$\text{B.}$ $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的可去间断点.
$\text{C.}$ $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处连续但不可导。
$\text{D.}$ $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处可导.
设函数 $f(x)$ 连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是
$\text{A.}$ $\int_0^x f\left(t^2\right) d t$.
$\text{B.}$ $\int_0^x f^2(t) d t$.
$\text{C.}$ $\int_0^x t[f(t)-f(-t)] d t$.
$\text{D.}$ $\int_0^x t[f(t)+f(-t)] d t$.
曲线 $y=\cos x\left(-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 与 $x$ 轴所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$.
$\text{B.}$ $\pi$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{2}$.
$\text{D.}$ $\pi^2$.
设 $f(x, y)= e ^{\sqrt{x^2+y^4}}$, 则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在.
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在.
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在.
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在.
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=$.
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)$
$\text{B.}$ $-f^{\prime}\left(x_0\right)$
$\text{C.}$ $2 f^{\prime}\left(x_0\right)$
$\text{D.}$ 不存在