解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若方程 $a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x=0$ 有一个正根 $x_0$ ，证明方程
$a_0 n x^{n-1}+a_1(n-1) x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}=0$必有一个小于 $x_0$ 的正根．
设 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，在 $(0, a)$ 内可导，且 $f(a)=0$ ，证明存在一点 $\xi \in(0, a)$ ，使 $f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$
设 $a>b>0, n>1$ ，证明：$n b^{n-1}(a-b) < a^n-b^n < n a^{n-1}(a-b)$ ．
验证极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}$ 存在，但不能用洛必达法则得出．
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^3}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)$ ．